En mathématiques, la formule des probabilités composées permet de calculer la probabilité d'une intersection d'évènements (non nécessairement indépendants) à l'aide de probabilités conditionnelles. des évènements dont l'intersection est de probabilité non nulle.
On utilise la formule des probabilités totales pour calculer une probabilité p\left(F\right) lorsque la réalisation de F dépend de la réalisation d'autres événements. Une usine fabrique 80% de composés A et 20% de composés B. Un centième des composés A et 5% des composés B sont défectueux.
Il est possible de faire l'analyse de la probabilité d'un événement et ainsi déterminer le nombre de résultats possibles. De plus, à partir de la probabilité, on peut déterminer les chances de gains ou de pertes entre différents jeux ou événements.
Théorème : Soient A1,…,Am A 1 , … , A m des événements tels que P(A1∩⋯∩Am)≠0 P ( A 1 ∩ ⋯ ∩ A m ) ≠ 0 . Alors : P(A1∩⋯∩Am)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1∩A2)⋯P(Am|A1∩⋯∩Am−1).
Donc on va diviser, multiplier/diviser le premier terme par la probabilité qu'on n'ait pas travaillé, le deuxième par la probabilité qu'on ait travaillé, pour faire apparaître ces probabilités conditionnelles. Et donc maintenant, on a des quantités qui sont connues d'après l'énoncé.
Ils permettent de traduire de manière abstraite les comportements ou des quantités mesurées qui peuvent être supposés aléatoires. En fonction du nombre de valeurs possibles pour le phénomène aléatoire étudié, la théorie des probabilités est dite discrète ou continue.
Deux évènements (A et B) sont compatibles s'ils ont un ou des éléments en commun. Pour que deux évènements soient compatibles, leur intersection ne doit pas être vide (A∩B≠∅) ( A ∩ B ≠ ∅ ) .
Dans le langage courant, on dit que deux événements sont indépendants quand la réalisation de l'un ne dépend pas de celle de l'autre. On va donner une définition mathématique de cette notion. Deux évènements A et B sont dits indépendants si P(A B) = P(A) × P(B).
Multiplier les probabilitésModifier
Lorsque l'événement E est équivalent à tous les événements X, Y, et Z, on utilise la multiplication pour combiner les probabilités (à la seule conditions que les événements soient indépendants deux à deux).
La formule de probabilités conditionnelles, P ( A | B ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) , peut également être utile. Si deux événements sont indépendants, P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ) . Pour un système complet d'événements, , la formule des probabilités totales s'écrit : P ( A ) = ∑ i ∈ I P ( A ∩ B i ) .
Introduction : Les probabilités permettent de prévoir à l'avance les chances qu'un événement a de se produire au cours d'une expérience. L'objectif de ce cours est d'apprendre à calculer ces probabilités.
Théorème : Soit (An) un système complet d'événements, tous de probabilité non nulle. Alors, pour tout événement B , on a : P(B)=∑n≥1PAn(B)P(An). P ( B ) = ∑ n ≥ 1 P A n ( B ) P ( A n ) . Si de plus P(B)>0 P ( B ) > 0 , on a pour tout entier k l'égalité : PB(Ak)=PAk(B)P(Ak)P(B)=PAk(B)P(Ak)∑n≥1PAn(B)P(An).
Définition 1 La fonction de répartition (f.d.r.) de la variable aléatoire X sur R est la fonction suivante : FX (x) = P(X ∈] − ∞,x]) = P(X ≤ x). FX (x)=1. 2. Comme FX est croissante, elle admet une limite `a gauche en chaque point, limite qu'on notera FX (x−).
= P(A) + P(B) – P(A – B) C'est-à-dire que la probabilité que l'un ou l'autre des deux événements se produise est égale à la probabilité que le premier événement se produise, plus la probabilité que le second se produise, moins la probabilité que les deux se produisent.
Deux événements A et B sont dits indépendants (par rapport à P ) si P(A∩B)=P(A)P(B), P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ) , ce qui peut encore s'écrire, si P(A)≠0 P ( A ) ≠ 0 , P(B|A)=P(B) P ( B | A ) = P ( B ) .
Deux événements A et B sont incompatibles ssi A ⋂ B = ∅. Autrement dit, deux événements sont incompatibles s'ils ne peuvent se réaliser en même temps. exemple: On lance deux dés et on fait la somme des points obtenus. Soit A l'événement “obtenir une somme égale à 12” et B l'événement “obtenir une somme égale à 3”.
Événements incompatibles
Quand deux événements ne peuvent se produire tous deux pendant la même expérience , on dit qu'ils sont incompatibles ou disjoints.
Pour calculer la probabilité d'un événement, vous pouvez simplement utiliser la formule générale de probabilité : P = n/N. Vous devez donc connaître le nombre d'issues favorables et le nombre total d'issues possibles.
Réviser longtemps sans coupure peut être inefficace. Le cerveau s'épuise. Il est donc important de faire des pauses régulièrement. Toutes les heures au minimum, et souffler quelques minutes, pour respirer, faire quelques mouvements, chanter, crier même !
Les statistiques et les probabilités permettent aux mathématiciens dans le domaine des assurances d'évaluer les risques, de calculer les primes en fonction des prestations et de déterminer les provisions requises pour les assurances-vie, assurances-accidents, assurances dommages, caisses de pension, caisses-maladie et ...