Soient A et B deux ensembles tels que Card(A) = 4, Card(B) = 3 et Card(A ∩ B) = 1. La formule du crible implique Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) − Card(A ∩ B)=4+3 − 1=6.
La réunion A ∪ B est finie avec Card( A ∪ B ) = Card( A ) + Card( B ) − Card( A ∩ B ). Démonstration On a ( A ∪ B ) ∖ A = B ∖ ( A ∩ B ) avec A et B ∖ ( A ∩ B ) finis et disjoints donc les formules précédentes donnent Card( A ∪ B ) = Card( A ) + Card( B ∖ ( A ∩ B )) = Card( A ) + Card( B ) − Card( A ∩ B ).
On pose C = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}. On appelle C l'ensemble produit de A et B et on le note A × B. Définition 8 Soit A un ensemble fini. Le cardinal de A, noté |A|, est le nombre d'éléments que contient A.
p(A∩B)=p(A)×p(B).
Ces deux notions sont reliées par la formule A ∪ B = A + B – (A ∩ B) Si l'on soustrait l'intersection, c'est pour ne pas la compter deux fois (une fois avec A et une fois avec B). En termes de probabilités : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B).
Le nombre des éléments de E est appelé cardinal de E. Il est noté Card(E). Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) − Card(A ∩ B).
Pour calculer P(G), on peut se rappeler que "la probabilité d'une intersection est le produit des probabilités rencontrées sur le chemin". Ainsi, à l'aide de l'arbre, P(G∩I)=P(G)×PG(I).
L'union est commutative, c'est-à-dire que, pour des ensembles A et B quelconques, on a : A ∪ B = B ∪ A. L'intersection est distributive sur l'union, c'est-à-dire que, pour des ensembles A, B et C quelconques, on a : A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
L'intersection (∩) de deux ensembles A et B s'exprime ainsi : A∩B={x∈Ω∣x∈A et x∈B} A ∩ B = { x ∈ Ω ∣ x ∈ A et x ∈ B } où Ω représente l'ensemble dans lequel se trouvent tous les éléments, c'est-à-dire l'univers des possibles.
Formule de calcul
Soit un ensemble de n objets différents alors, le nombre de combinaisons de p objets de cet ensemble est égale à, Cpn=n! p! ⋅(n−p)!
L'ensemble ayant pour éléments tous les sous-ensembles ou parties d'un ensemble E est noté de la façon suivante : P(E). Si Card(E) = n, alors : Card(P(E)) = 2n. Une partie d'un ensemble E différente de E et non vide est appelée une partie propre de l'ensemble E.
En mathématiques, la cardinalité est une notion de taille pour les ensembles. Lorsqu'un ensemble est fini, c'est-à-dire si ses éléments peuvent être listés par une suite finie, son cardinal est la longueur de cette suite, autrement dit il s'agit du nombre d'éléments de l'ensemble.
Soit u:=(u1,… up) une famille de vecteurs ayant plus de vecteurs que e, ie telle que p>n. Soient des "nombres" x(i,j) tels que pour tout i: ui=x(i,1)e1+x(i,2)e2+…
Le produit cartésien n'est pas commutatif. Le produit cartésien est aussi défini par : A ☓ B = {(x, y) | x ∈ A ∧ y ∈ B}. Le produit cartésien A ☓ A est généralement noté A2 et est appelé le carré cartésien de A.
Dans la théorie des ensembles, l'intersection est une opération ensembliste qui porte le même nom que son résultat, à savoir l'ensemble des éléments appartenant à la fois aux deux opérandes : l'intersection de deux ensembles A et B est l'ensemble, noté A ∩ B, dit « A inter B », qui contient tous les éléments ...
Définition : L'événement contraire de A est l'événement qui se réalise lorsque A ne se réalise pas.
Il y a 2 jours dans un weekend, 2 est donc le nombre d'évènements et il y a 7 jours dans la semaine. La probabilité de tirer un jour du weekend est donc de : 2 ÷ 7, soit 2/7. Sous forme décimale, la probabilité est de 0,285, sous forme de pourcentage, 28,5 %.
Comme les événements C et B sont incompatibles, on a P(C∪B)=P(C)+P(B). Or, C∪B=A∪B d'où P(A∪B)=P(C)+P(B). De plus, les événements C et A∩B sont incompatibles, donc on a P(C∪(A∩B))=P(C)+P(A∩B).
Si A et B sont deux évènements on a la relation suivante : p(A B) = p(A) + p(B) – p(A B).
Prendre deux couleurs différentes (rouge et vert, par exemple) pour tracer chacun des deux intervalles. L'intersection se trouve là où les deux couleurs sont l'une sur l'autr !
Des évènements sont indépendants lorsque la réalisation de l'un n'influence pas la réalisation de l'autre. La probabilité d'un évènement n'est pas affectée par la réalisation de l'autre évènement lorsque deux évènements sont indépendants l'un de l'autre.
Le théorème de Bayes est utilisé dans l'inférence statistique pour mettre à jour ou actualiser les estimations d'une probabilité ou d'un paramètre quelconque, à partir des observations et des lois de probabilité de ces observations. Il y a une version discrète et une version continue du théorème.
Le cardinal d'un ensemble fini E désigne le nombre d'éléments de E. Ex : E={1,2,5,10}, card(E)=4.