La loi de probabilité donnant le nombre de succès sur ces n répétitions est la loi binomiale de paramètres n et p (notée B(n;p)). Il s'agit en fait d'une généralisation de la loi de Bernoulli dans le cas où l'on répète plusieurs fois l'expérience.
On pose : On appelle X la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si l'issue est S et la valeur 0 si l'issue est E. Par définition, la loi de probabilité de la variable aléatoire X est appelée loi de Bernoulli de paramètre p. L'espérance mathématique de X est E(X) = p et sa variance V(X) = pq.
Le théorème de Bernoulli pose la base de la dynamique des fluides et plus généralement de la mécanique des fluides. Il permet d'expliquer de nombreux phénomènes, notamment en aérodynamique.
Une variable aléatoire X suit une loi binomiale lorsqu'elle dénombre les succès dans une suite d'expériences de Bernoulli répétées de manière indépendante.
De manière générale, la loi de Bernoulli est la loi de la variable aléatoire qui code le résultat d'une épreuve qui n'admet que deux issues (épreuve de Bernoulli) : 1 pour « succès », 0 pour « échec », ou quel que soit le nom qu'on donne aux deux issues d'une telle expérience aléatoire.
La loi de probabilité donnant le nombre de succès sur ces n répétitions est la loi binomiale de paramètres n et p (notée B(n;p)). Il s'agit en fait d'une généralisation de la loi de Bernoulli dans le cas où l'on répète plusieurs fois l'expérience.
La loi hypergéométrique (loi d'une variable aléatoire lors d'un tirage sans remise) peut être approchée par la loi binomiale lorsque le nombre d'individus de la population est très grand devant le nombre d'individus étudiés. On peut alors également approcher la loi binomiale par une des deux lois précédentes.
Remarque : on dit que cette loi de probabilité est la loi du nombre de succès. On nomme coefficient binomial, noté qui se lit k parmi n, le nombre de chemins ayant k succès de l'arbre d'un schéma de Bernoulli d'ordre n. Pour le schéma de Bernoulli précédent : Pour 0 succès on a car un seul chemin n'a aucun succès.
L'espérance et la variance d'une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale de paramètres n et p sont obtenues grâce aux formules E(X)=np et V(X)=np(1−p).
La loi binomiale fait partie des plus anciennes lois de probabilités étudiées. Elle a été introduite par Jacques Bernoulli qui y fait référence en 1713 dans son ouvrage Ars Conjectandi.
La relation de Bernoulli s'écrit de la manière suivante. Les points A et B ont la même coordonnée verticale (zA = zB), cette relation peut donc se réécrire : On a vA > vB donc vA2 > vB2. On en déduit la relation d'ordre entre les pressions exercées par le fluide aux points A et B.
En d'autres mots, le principe de Bernoulli définit que plus la vitesse d'un fluide est grande, plus la pression est petite. Les liquides et les gaz sont des fluides.
Un schéma de Bernoulli d'ordre n est la répétition, d'une manière indépendante, d'une épreuve de Bernoulli n fois. On lance trois fois de suite une pièce truquée pour laquelle la probabilité d'obtenir pile est . On note X le nombre de fois qu'on obtient pile lors de ces trois lancers.
Une loi de probabilité est une distribution théorique de fréquences. Soit Ω un ensemble muni d'une probabilité P. Une variable aléatoire X est une application définie sur Ω dans ℝ. X permet de transporter la loi P en la loi P' définie sur Ω′=X(Ω) : on a P′(xj)=P(X−1(xj))=P(X=xj).
Remarque : Dans la pratique, lorsque n ≥ 30, np ≥ 5 et n (1 − p) ≥ 5, l'erreur sur les probabilités calculées est très faible. Lorsque ces trois conditions sont remplies, on pourra approcher la loi binomiale B (n ; p) par la loi normale N (µ ; σ2) , avec µ = np et σ = √np (1 − p).
La variance de la loi binomiale est donnée par l'expression n p ( 1 − p ) . Ici, (n\) est le nombre d'expériences et est la probabilité de réussite. Si la variance d'une variable aléatoire est petite, alors les valeurs de la variable sont souvent proches de l'espérance.
Par exemple, si X suit la loi binomiale de paramètres n et p alors l'espérance de X est E(X)=n×p. lorsque X comptabilise un gain en euros pour un joueur et que l'on demande si le jeu est avantageux, désavantageux ou équilibré, il suffit de regarder si E(X)≥0, E(X)≤0 ou E(X)=0.
On peut interpréter l'espérance mathématique de la variable comme le gain moyen que l'on peut espérer d'un jeu si l'on joue un très grand nombre de fois. C'est le « gain moyen ». Si E(x) = 0 le jeu est dit équitable, si E(x) > 0 le jeu et dit favorable (au joueur) et si E(x) < 0 le jeu et dit défavorable (au joueur).
La probabilité que le candidat réponde correctement à au moins 2 questions est d'environ 76 %.
La loi binomiale négative est une loi de probabilité proche de la loi géométrique. Cette dernière s'applique à une variable discrète qui compte le nombre d'essais avant d'arriver à un succès (de probabilité p).
Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson
Lorsque n prend de grandes valeurs, et que p est petit, la loi binomiale B(n , p) est approchée par la loi de Poisson P(np) (conservation de la moyenne). Les conditions d'approximation sont n ≥ 30, p ≤ 0,1 et n p < 15.
Elle décrit la probabilité qu'un événement se réalise durant un intervalle de temps donné, lorsque la probabilité de réalisation d'un événement est très faible et que le nombre d'essais est très grand.
Si le signe de Z est positif cela signifie que l'on se situe à 2.5 σ à droite de la moyenne. Si on lit la valeur sur la table correspondant à 2.5 sur la deuxième page, on trouvera une probabilité de 0.9938. La valeur de 0.9938 correspond à la probabilité associée à toutes les valeurs inférieures à 25.
La loi normale, ou distribution normale, définit une représentation de données selon laquelle la plupart des valeurs sont regroupées autour de la moyenne et les autres s'en écartent symétriquement des deux côtés.
Soit Y la variable aléatoire qui désigne le nombre de passagers qui se présenteront pour leur vol. Comme il est connu qu'en moyenne seulement 95% des passagers se présenteront pour leur vol, la loi binomiale nous donne: P [ Y = 101 ] = ( 103 101 ) × ( 0 , 95 ) 101 × ( 0 , 05 ) 2 ≡ 0 , 073 86.