La trigonométrie est un sous-domaine des mathématiques, qui consiste à étudier les rapports entre les mesures des angles et les mesures des longueurs dans un triangle rectangle. L'analyse de ces rapports permet de déduire des distances qu'on ne peut mesurer, par exemple, quand le triangle rectangle est très grand.
La trigonométrie (du grec τρίγωνος / trígonos, « triangulaire », et μέτρον / métron, « mesure ») est une branche des mathématiques qui traite des relations entre distances et angles dans les triangles et des fonctions trigonométriques telles que sinus, cosinus, tangente.
Formules fondamentales :
tg x = sin x / cos x. cotg x = cos x / sin x. 1 + tg² x = 1 / cos² x.
Comme précisé en introduction, la trigonométrie permet de créer des relations entre les distances et les angles. Grâce aux définitions qui vont suivre, on va pouvoir tisser des rapport entre les angles et les longueurs des côtes qui forment cet angle dans le triangle rectangle.
Il y a trois fonctions trigonométriques de base : le sinus, le cosinus et la tangente. Nous pouvons définir ces fonctions à partir du cercle trigonométrique. L'ordonnée d'un point de ce cercle nous donne le sinus de l'angle entre le rayon et la partie positive de l'axe des abscisses .
Il y aussi des formules trigonométriques utiles où les nombres complexes apparaissent, la formule d'Euler, e i θ = cos θ + i sin , et la formule de Moivre, θ + i sin θ ) n = cos n θ + i sin .
En prenant l'exemple de cos(π/2 + x), on commence de π/2, puis on rajoute x, on regarde alors dans quel intervalle on se situe (ici ]π/2 ; π[ , et l'on remarque le sinus est négatif et que le cosinus est positif, on a donc cos(π/2 + x) = – sin(x), ainsi que sin(π/2 + x) = cos(x).
Branche des mathématiques, issue de l'astronomie, qui, en liaison avec la géométrie euclidienne, permet de calculer les mesures des côtés d'un triangle ou de ses angles, à partir de certaines d'entre elles. (On y utilise et étudie en particulier les fonctions circulaires et leurs réciproques.)
Pour les non scientifiques, la trigonométrie est connue principalement pour ses applications aux problèmes de mesure, cependant elle est aussi souvent employée dans des matières insoupçonnées comme en théorie de la musique ou en théorie des nombres de manière encore plus technique.
Mais on attribue à Hipparque de Nicée (-190 ; -120) les premières tables trigonométriques. Elles font correspondre l'angle au centre et la longueur de la corde interceptée dans le cercle.
Les formules définissant le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle permettent de calculer des longueurs de côtés à partir de la mesure d'un des angles aigus et de la longueur d'un des côtés.
La tangente comme quotient
cos ( A ^ ) = A B A C sin ( A ^ ) = B C A C tan ( A ^ ) = B C A B .
L'astronome et mathématicien indien Aryabhata (476-550), dans son ouvrage Arya-Siddhanta, définit pour la première fois le sinus (moderne) à partir de la relation entre la moitié d'un angle et la moitié d'une corde, tout en définissant également le cosinus, le contre-sinus (ou sinus verse), et l'inverse du sinus.
Ce sens a été choisi par les astronomes parce qu'il correspond à la rotation de la Terre ; c'est-à-dire le sens dans lequel les étoiles semblent défiler pour un observateur sur Terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance...).
Utilisez un moyen mnémotechnique pour retenir les formules.
L'acronyme le plus souvent retenu est SOHCAHTOA, à savoir : Sinus = Opposé sur Hypoténuse, Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse, Tangente = Opposé sur Adjacent.
Le mot sinus est un mot latin signifiant courbe, pli, cavité. Il a donné en français les mots sein et sinueux.
Le théorème de Pythagore s'applique au triangle rectangle seulement et permet de calculer un côté de celui-ci lorsque l'on connaît les deux autres.
Le sinus de l'un est égal au cosinus de l'autre et réciproquement. On va démontrer que le sinus d'un angle est égal au cosinus de son complémentaire.
Quant au cosinus, c'est tout simplement le sinus du complémentaire (de l'angle) : « co- » vient du latin cum, qui signifie « avec ». La tangente, elle, vient de ce qu'elle mesure une portion d'une tangente au cercle trigono- métrique.
INFOGRAPHIE - Dès l'époque babylonienne, des scribes de Sumer utilisaient déjà une table pour calculer les côtés de triangles rectangles.
Dans le cas d'un triangle rectangle ABC rectangle en B, le cosinus de l'angle A est égal à la longueur du côté adjacent à l'angle A divisée par la longueur de l'hypoténuse, donc cos A = AB/AC.
Pour tout entier 𝑛 et tout angle 𝜃 mesuré en radians, s i n s i n ( 𝜃 ) = ( 𝜃 + 2 𝜋 𝑛 ) ; c o s c o s ( 𝜃 ) = ( 𝜃 + 2 𝜋 𝑛 ) ; t a n t a n ( 𝜃 ) = ( 𝜃 + 𝑛 𝜋 ) .
La formule du cosinus d'un angle s'applique dans un triangle rectangle. Elle correspond au rapport entre la longueur du côté adjacent à l'angle (longueur collée à l'angle) et la longueur de l'hypoténuse (le plus grand côté du triangle rectangle).
La notion de tangente permet d'effectuer des approximations : pour la résolution de certains problèmes qui demandent de connaître le comportement de la courbe au voisinage d'un point, on peut assimiler celle-ci à sa tangente. Ceci explique la parenté entre la notion de tangente et le calcul différentiel.