Si la suite est une suite arithmétique, le nombre réel r s'appelle la raison de cette suite. Autrement dit, une suite est arithmétique si et seulement si chaque terme s'obtient en ajoutant au terme précédent un nombre réel r, toujours le même.
Dans le cas où la suite est arithmétique ou géométrique, préciser le premier terme et la raison. Uo = 0 et pour tout entier naturel n, Un+1 = 3un - 2. La suite est donc une arithmétique qui a pour premier terme 3 et de raison -2.
Une suite géométrique est une suite telle que chaque terme se déduit du précédent par la multiplication par un réel constant (également appelé la raison de la suite). Pour montrer qu'une suite (Vn) est géométrique, on montre qu'il existe un réel q constant tel que, pour tout entier n, V_{n + 1} = q \times V_n.
Tu dois savoir qu'il y a 2 types de suites que l'on utilise souvent : les suites géométriques et les suites arithmétiques. Une suite arithmétique, c'est quand on fait « +r » à chaque nouveau terme, avec r qui est un réel.
Définition : Une suite est une « succession » de nombres réels. Ces nombres réels sont les termes de la suite. Une suite (un) associe, à tout entier n, un nombre réel noté un et appelé le terme général de la suite. La notation un est la notation indicielle, n est appelé l'indice ou le rang.
Exemple : Considérons une suite numérique (un) où le rapport entre un terme et son précédent reste constant et égale à 2. Si le premier terme est égal à 5, les premiers termes successifs sont : u0 = 5, u1 = 10, u2 = 20, u3 = 40. Une telle suite est appelée une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 5. .
si la série de terme général vn converge, alors la série de terme général un converge également, si la série de terme général un diverge, alors la série de terme général vn diverge également, Si un∼vn, alors les séries de terme général un et vn sont de même nature.
Définition : La nature d'une série est le fait qu'elle converge ou diverge. Le but de ce chapitre est de développer des techniques particulières pour étudier des séries sans nécessairement étudier la suite des sommes partielles.
Une fonction est une relation mathématique qui prend une valeur et lui en associe une autre. On note souvent f la fonction et x le nombre de départ. On note f(x) le nombre d'arrivée. Par exemple, fonction f(x) = 2x + 3 est une fonction qui a tout x associe 2x+3.
1 - Les suites numériques. En maths, une suite est un ensemble de nombres qui se suivent d'une manière logique avec un début, mais sans fin. Par exemple, 1, 3, 5, 7, 9, etc... est une suite. 5, -10, 20, -40, 80, -160, etc...
Solution. Calculons u 1 u 0 et u 2 u 1 : ² ² u 1 u 0 = 1 ² + 1 / 0 ² + 1 = 2 et ² ² u 2 u 1 = 2 ² + 1 1 ² + 1 = 5 2 . Ces deux nombres sont différents donc la suite ( u n ) n'est pas géométrique.
Les mathématiques (ou la mathématique) sont un ensemble de connaissances abstraites résultant de raisonnements logiques appliqués à des objets divers tels que les ensembles mathématiques, les nombres, les formes, les structures, les transformations, etc. ; ainsi qu'aux relations et opérations mathématiques qui existent ...
Définition : La suite (un) admet le réel pour limite si : Tout intervalle ]a ; b[ contenant , contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On dit alors que la suite est convergente.
La nature d'un mot est la « catégorie » de mots à laquelle il appartient. À quelques exceptions près, un mot ne change pas de nature, quelle que soit la phrase dans laquelle il est employé. « Jardin » est un nom ; c'est sa nature. « Courir » est un mot d'une autre nature ou catégorie grammaticale : c'est un verbe.
En mathématiques, une suite arithmético-géométrique est une suite satisfaisant une relation de récurrence affine, généralisant ainsi les définitions des suites arithmétiques et géométriques.
Définition 4 On appelle séries géométriques les séries de terme général Un = qn. Le terme q se nomme la raison de la série. lorsque q = 1 alors Sn = (n + 1) donc la suite (Sn) diverge. lorsque q = −1 alors Sn prend alternativement les valeurs 1 et 0 donc (Sn) diverge.
On considère donc une série ∑ u n à termes réels. On a, pour tout : u n + ≤ | u n | et u n − ≤ | u n | . Ainsi, si la série ∑ | u n | est convergente, il en est de même des séries ∑ u n + et ∑ u n − , et donc de la série ∑ u n .
Les sommes partielles sont un premier tremplin vers le concept final de ce cours : les séries. La différence entre somme partielle et série est assez simple à comprendre : une série additionne tous les termes d'une suite infinie, alors que la somme partielle n'en additionne qu'un nombre fini.
En mathématiques, une série est dite convergente si la suite de ses sommes partielles a une limite dans l'espace considéré. Dans le cas contraire, elle est dite divergente.
Si une série converge, son terme général tend vers 0. Dans le cas où le terme général ne tend pas vers 0, on dit que la série diverge grossièrement. (vk+1 −vk) = vn+1 −v0 Les suites (sn) et (vn+1) sont de même nature, il en est de même de (vn).
Dire qu'une suite u est arithmétique signifie qu'il existe un nombre r tel que, pour tout entier naturel n, un+1 = un + r. Le nombre r est appelé la raison de la suite (un). Autrement dit, on passe d'un terme d'une suite arithmétique au terme suivant en ajoutant toujours le même nombre r.
Une suite est dite constante si il existe un réel x tel que un = x pour tout n. On parle aussi de suites constantes `a partir d'un certain rang.
(un) est bien définie si ∀n, un+1 ≥ 0, c'est `a dire si un ≥ −1. Pour tout choix de u0 ∈ [−1, +∞[, on aura alors ∀n ≥ 1,un ≥ 0 (récurrence immédiate), et donc la suite sera bien définie.