Introduction. En mathématiques, une paire de matrices commutantes est un couple (A,B) de matrices carrées à coefficients dans un corps qui commutent, c'est-à-dire que AB = BA.
Matrices commutant avec une matrice diagonalisable
Si cette somme est l'espace tout entier, on a donc caractérisé les matrices qui commutent à A : Si A est diagonalisable, alors les matrices qui commutent à A sont celles qui laissent stable chaque sous-espace propre de A.
Ce résultat peut se généraliser à l'ordre n : les matrices carrées d'ordre n qui commutent avec toutes les matrices de M n ( K ) sont les matrices de la forme k I , où k est un élément quelconque de K , et I la matrice identité de M n ( K ) .
On appelle matrice diagonale une matrice carrée dont les termes situés hors de la diagonale principale sont tous nuls. Plus formellement, une matrice carrée d'ordre de terme général a i , j est diagonale si pour tout entier , avec 1 ≤ i ≤ n , et tout entier tel que , i ≠ j , a i , j = 0 .
Pour diagonaliser une matrice, une méthode de diagonalisation consiste à calculer ses vecteurs propres et ses valeurs propres. La matrice diagonale D est composée des valeurs propres. La matrice inversible P est composée des vecteurs propres dans le même ordre de colonnes que les valeurs propres associées.
(À redémontrer à chaque fois) Si une matrice A non multiple de l'identité n'a qu'une valeur propre, alors A n'est pas diagonalisable.
La diagonalisation de matrices sert surtout en physique (via le théorème spectral) pour déterminer certaines caractèristiques invariantes de systèmes. (Comme en mathématique on détermine les vecteurs invariants à un facteur près sous une une application linéaire, appelés vecteurs propres).
Pour savoir si A est diagonalisable nous devons calculer son polynôme caractéristique et s'il est scindé dans K , la dimension des sous-espaces propres. Nous avons : P car , A ( X ) = | − X − 1 1 − X | = X 2 + 1 . P car , A ( X ) n'est pas scindé sur R , par conséquent A n'est pas diagonalisable sur M 2 ( R ) .
Proposition 57 Si A est triangulaire, alors elle a n valeurs propres qui sont ses éléments diagonaux. Définition 53 i) On dit qu'une matrice A est trigonalisable si elle est semblable `a une matrice triangulaire. ii) On dit qu'une matrice A est diagonalisable si elle est semblable `a une ma- trice diagonale.
En algèbre linéaire et multilinéaire, une matrice symétrique est une matrice carrée qui est égale à sa propre transposée, c'est-à-dire telle que ai,j = aj,i pour tous i et j compris entre 1 et n, où les ai,j sont les coefficients de la matrice et n est son ordre.
On appelle commutant de A l'ensemble des matrices M qui commutent avec A, c'est-à-dire telles que AM = MA. On le note généralement C(A). Ainsi : C(A) = {Matrices M telles que AM = MA} = {M|AM = MA}.
Une matrice ligne est une matrice avec exactement une ligne. Une matrice carrée est une matrice où le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes. Une matrice identité est une matrice carrée avec des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs. Une matrice colonne est une matrice avec exactement une colonne.
Le rang d'une matrice est celui des applications linéaires qu'elle représente, qui ne dépend pas des bases. Si deux matrices représentent la même application dans des bases différentes, elles auront nécessairement même rang.
On peut regrouper comme l'on veut les matrices à multiplier. Mais attention, il ne faut pas modifier l'ordre des matrices du produit puisque la multiplication n'est pas commutative.
Autrement dit, M est nilpotente si et seulement s'il existe un polynôme annulateur de la forme X^i, avec i un entier supérieur ou égal à n, tout en sachant que le polynôme dit minimal de M est X^n, n étant l'indice de nilpotence de la matrice M.
Toute matrice inversible admettant au moins une puissance non nulle diagonalisable est diagonalisable également sur un corps algébriquement clos de caractéristique nulle. , qui est donc diagonalisable.
— Toute matrice A de Mn(C) est trigonalisable dans Mn(C). Notons que toute matrice A de Mn(R) peut toujours se trigonaliser dans Mn(C). En effet, si le polynôme caratéristique de A est scindé sur R, A est trigonalisable dans Mn(R).
Une matrice triangulaire supérieure dont les éléments diagonaux sont deux à deux distincts est diagonalisable. Ce n'est pas nécessairement le cas si les coefficient diagonaux ne sont pas distincts. Une matrice symétrique à coefficients réels est diagonalisable (cf chapitre suivant d'algèbre).
Toute matrice carrée qui admet 0 pour valeur propre n'est pas inversible car son noyau n'est pas réduit au vecteur nul. La matrice A = ( 1 0 0 0 ) de M 2 ( K ) ( K = R ou K = C ) est une matrice diagonale qui admet pour valeurs propres 1 et 0 donc A n'est pas inversible bien qu'elle soit diagonalisable.
La diagonalisation d'une matrice est utilisée dans la recherche de puissance de matrices à un ordre n ∈ N ∗ . En effet, de D = P − 1 A P en prémultipliant par et en postmultipliant par , nous avons : P D P − 1 = P P − 1 A P P − 1 = A ⇒ A = P D P − 1 .
Si F = E, f est appelée un endomorphisme. Pour montrer que f est une application linéaire, il suffit de vérifier que f(u + λv) = f(u) + λf(v) pour tous u, v ∈ E,λ ∈ K.
Si il existe un scalaire λ ∈ R (resp. C )et un vecteur non nul v ∈ E tels que ϕ(v) = λv, on dit que λ est une valeur propre de u. Si λ est une valeur propre et un vecteur propre de ϕ, associé λ est un vecteur v tel que ϕ(v) = λv.
Les valeurs propre d'une matrice carrée sont les racines de son polynôme caractéristique. Définition. On appelle la trace de A la somme des éléments sur la diagonale.
Une matrice symétrique est strictement positive si et seulement si ses valeurs propres sont strictement positives. Pour toute matrice réelle A, la matrice tAA est une matrice symétrique positive. De plus si A est une matrice carrée inversible, tAA est strictement positive.