∅ admet une unique topologie, qui est {∅}. Elle est à la fois grossière (donc cet espace topologique est connexe) et discrète (donc cet espace est compact, comme tout espace fini discret).
Par définition de ·∞, un ensemble X est borné s'il est inclus dans un pavé [−a,a]N, qui est compact. Si de plus X est fermé, c'est un fermé dans un compact, donc il est compact.
On dénote par ∅ l'ensemble vide, celui composé d'aucun élément. Le symbole ∈ indique qu'un élément appartient à un ensemble. À l'inverse, le symbole ∉ identifie un élément qui n'appartient pas à un ensemble. L'ensemble est dit un sous-ensemble de si et seulement si tous les éléments de sont aussi des éléments de .
Tout ensemble muni de sa topologie grossière est connexe. Il en résulte que l'ensemble vide est connexe, ainsi que tout espace réduit à un point.
une partie O est un ouvert si pour tout x dans O etc... Si O est vide, c'est donc vrai aussi, donc ∅ est un ouvert. On peut le comprendre comme un passage obligé pour être logiquement cohérent avec le calcul propositionnel en logique classique.
L'ensemble vide est un ouvert (l'intersection de deux ouverts peut en effet être vide). entière. des deux demi-droites ouvertes figurées ci-contre est l'intervalle [a,B] fermé, y dont on a vu qu'il n'est pas, ouvert). fermé, tout ensemble réduit à un point, tout ensemble discret sont des fermés.
l'ensemble vide n'a pas de borne supérieure ni inférieure ; l'intervalle ]0, 1[ admet 0 comme borne inférieure et 1 comme borne supérieure ; l'ensemble {(–1)n+1/n | n = 1, 2, 3…}
Un ensemble vide est un ensemble qui ne contient aucun élément. On le représente par le symbole ∅ ou par 2 accolades vides : { }.
- L'ensemble vide Ø est un ensemble indépendant cependant il génère {0} espace vectoriel de dimension 0.
On dit qu'une partie U de E est ouverte (ou que U est un ouvert) s'il est voisinage de chacun de ses points. Autrement dit, U est ouvert si pour tout point a∈U a ∈ U , il existe r>0 tel que B(a,r)⊂U.
Deux ensembles sont égaux s'ils contiennent les mêmes éléments ; c'est l'axiome d'extensionnalité de la théorie des ensembles. Par conséquent, il ne peut y avoir qu'un ensemble ne contenant aucun élément, donc un seul ensemble vide.
En particulier, le cardinal de l'ensemble vide est zéro. La généralisation de cette notion aux ensembles infinis est fondée sur la relation d'équipotence : deux ensembles sont dits équipotents s'il existe une bijection de l'un dans l'autre.
Exemple 1 L'ensemble des parties d'un ensemble X contient toujours l'ensemble vide ∅ et l'ensemble X lui-même. L'ensemble des parties de l'ensemble vide est l'ensemble {∅ } formé d'un seul élement ∅.
Soit(E,T) un espace topologique et A un sous-ensemble de E. On dit que A est un ensemble compact si, muni de la topologie induite par celle de E, il devient un espace compact. Par exemple, tous les sous-ensembles finis d'un espace topologique quelconque sont des ensembles compacts.
Une partie K de E est dite compacte si, de toute suite (un) d'éléments de K , on peut extraire une sous-suite convergente vers un élément de K . En particulier, toute réunion finie ou toute intersection quelconque de parties compactes est compacte.
Le nom « propriété de Borel-Lebesgue » rend hommage aux mathématiciens français Émile Borel et Henri Lebesgue, car le théorème homonyme établit que tout segment de ℝ est compact et, plus généralement, que les compacts de ℝn sont les fermés bornés.
Parce que l'ensemble vide est une base de cet espace vectoriel. C'est surtout la famille vide qui est une base de l'espace nul. Toute somme indexée par la famille vide est nulle.
Pour démontrer que l'intérieur d'un ensemble A est vide, on peut, pour tout x∈A x ∈ A , trouver une suite (xn) dans le complémentaire de A qui tend vers x (voir cet exercice).
L'ensemble vide a presque toutes les propriétés, sauf notamment celle d'être un espace vectoriel.
Pour l'ensemble vide, il faut utiliser \emptyset.
Un ensemble `a un seul élément x est noté {x} et on l'appelle le singleton {x}. On a donc x ∈ {x} (et pas x = {x}). Un ensemble `a deux éléments est appelé une paire.
Dans la théorie des ensembles, l'intersection est une opération ensembliste qui porte le même nom que son résultat, à savoir l'ensemble des éléments appartenant à la fois aux deux opérandes : l'intersection de deux ensembles A et B est l'ensemble, noté A ∩ B, dit « A inter B », qui contient tous les éléments ...
L'ensemble vide est majoré par tous les nombres réels. Il est également minoré par tous les nombres réels. Pour le comprendre il est peut-être plus facile de passer par la négation du fait d'être majoré par un nombre.
Le Centre National du Football de Clairefontaine accueille désormais les deux premières promotions féminines de l'Institut National du Football. Visite des coulisses de la première structure de préformation féminine mise en place en France.
Le système INF SP est un système transeuropéen (TES) qui assure l'échange administratif et normalisé d'informations entre les opérateurs économiques et les autorités douanières, et entre les autorités douanières elles-mêmes impliquées lors des procédures douanières de perfectionnement actif et passif.