On peut se retrouver dans plusieurs cas : Si la suite a une infinité de pics, alors la suite des pics forme une sous-suite décroissante. Sinon, on peut construire une sous-suite croissante. On prend comme premier terme un terme d'indice supérieur à tous les pics, puis un terme d'indice encore supérieur, etc.
soit : ϕ 2 : N → N , n ↦ 2 n + 1 la suite extraite obtenue est la suite des termes d'indice impair. Ainsi si l'on considère la suite ( 1 n + ( − 1 ) n n ) n ≥ 2 , la suite des termes d'indice pair est la suite ( 1 2 n + 2 n ) n ≥ 1 , la suite des termes d'indice impair est ( 1 2 n + 1 − 2 n + 1 ) n ≥ 1 .
Mais extraire une sous-suite consiste simplement à choisir des termes dans l'ordre de la suite initiale. Plus précisément , il s'agit de choisir ,pour une suite donnée (un)n une fonction φ:N→N strictement croissante (dite donc extractrice) puis de considérer la suite (uφ(n))n.
Définition : Soit une suite réelle; on dit que est une suite de Cauchy ou vérifie le critère de Cauchy si : quel que soit , il existe un entier tel que les inégalités p ≥ N et n ≥ N entraînent | u p − u n | < ϵ .
Il suffit de considérer la suite géométrique de raison z ∈ C avec |z| > 1 pour s'en convaincre. Définition 3 Soit (zn)n ∈ CN. On dit que (zn)n converge vers l ∈ C si ∀ϵ > 0, ∃nϵ ∈ N, ∀n ≥ nϵ, |zn − l| < ϵ. un = l et l est appelée la limite de la suite (zn)n.
On dit qu'une suite un converge vers un réel L si pour tout intervalle ouvert U contenant L, tous les termes de la suite appartiennent à U sauf un nombre fini. L est la limite de la suite un et elle est unique. Une suite est divergente si elle n'est pas convergente.
Définition : La suite (un) admet le réel pour limite si : Tout intervalle ]a ; b[ contenant , contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On dit alors que la suite est convergente.
Théorème : R , C sont des espaces métriques complets. Une partie A de E est complète si l'espace métrique induit (A,d) est complet. Proposition : Si E est un espace métrique complet et A⊂E A ⊂ E , alors A est complet si et seulement si A est fermé.
En mathématiques, la suite de Fibonacci est une suite de nombres entiers dont chaque terme successif représente la somme des deux termes précédents, et qui commence par 0 puis 1. Ainsi, les dix premiers termes qui la composent sont 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 et 34.
Toute suite de Cauchy est bornée. Une suite de Cauchy a au plus une valeur d'adhérence et si elle en a une, alors elle converge. Toute sous-suite d'une suite de Cauchy est, elle-même, une suite de Cauchy. Toute suite de Cauchy admettant une sous-suite convergente est convergente.
Une suite de nombres réels (ou suite de réels ou suite réelle) est une application de N dans R. On calcule directement un en fonction de n. Parmi les suites de référence citons: Suites arithmétiques : ce sont les suites .
Avec des quantificateurs, la propriété lim un = l se traduit par ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ≥ n0, l − ε ≤ un ≤ l + ε. On peut aussi remplacer l − ε ≤ un ≤ l + ε par |un − l| ≤ ε.
Définitions : On dit qu'une suite ( )un est divergente lorsque qu'elle ne converge pas. Une suite divergente est donc une suite qui n'admet par de limite ou qui admet +õ ou –õ comme limite.
une suite bornée n'est pas nécessairement convergente (contre-exemple : un = (–1)n est bornée — majorée par 1 et minorée par –1 — mais n'admet pas de limite) ; pour qu'une suite tende vers ±∞, il ne suffit pas qu'elle soit non bornée (contre-exemple : la suite qui vaut 0 pour n pair, et n pour n impair).
Définition : Lorsqu'une suite est définie par son premier terme et par une relation qui permet de calculer tous les termes successifs de proche en proche, on dit que la suite est définie par récurrence.
En mathématiques, une suite définie par récurrence est une suite définie par son (ou ses) premier(s) terme(s) et par une relation de récurrence, qui définit chaque terme à partir du précédent ou des précédents lorsqu'ils existent.
L'Équation de Navier-Stoke.
Pour autant, un mystère demeure : selon l'œuvre de Douglas Adams, le nombre 42 serait la réponse à « la grande question sur la vie, l'univers et le reste ».
Le nombre d'or, aussi appelé ratio d'or, est un concept mathématique qui donne le nombre irrationnel phi ou Φ, qui équivaut approximativement à 1,618. Il provient de la séquence de Fibonacci, qui est une série de nombres dans laquelle le nombre suivant est la somme des deux nombres précédents.
Re: Q n'est pas (au blé) complet
Si une suite de rationnels (un) converge vers un irrationnel r , alors c'est une suite de Cauchy. Cependant, elle n'admet pas de limite dans Q . Or, si Q était complet, toute suite de Cauchy à éléments rationnels (donc, en particulier, la suite (un) ) convergerait vers un rationnel.
Par définition de ·∞, un ensemble X est borné s'il est inclus dans un pavé [−a,a]N, qui est compact. Si de plus X est fermé, c'est un fermé dans un compact, donc il est compact.
On dit que la suite u est majorée lorsqu'il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n, un ≤ M. Le nombre M est alors appelé un majorant de la suite u. On dit que la suite u est minorée lorsqu'il existe un réel m tel que pour tout entier naturel n, un ≥ m.
Si la suite est convergente, on dit que la série de terme général (ou série ∑ u n ) est convergente. La limite, notée , de la suite est la somme de la série ∑ u n . On écrit alors : s = ∑ 0 + ∞ u n .
Un+1 - Un = [5n + 5 + 3] - [5n +3]. Un+1 - Un = [5n + 8] - [5n +3]. Un+1 - Un = 5n + 8 - 5n - 3 Un+1 - Un = 5. La différence Un+1 - Un est un réel ne dépendant pas de n (constant), donc la suite (Un) est arithmétique de raison r=5 et de premier terme U0= 3.