Propriété Le vecteur (-b\: ; a) est un vecteur directeur de la droite d'équation ax + by + c = 0. Logique Réciproquement, si le vecteur (-b \:; a) est un vecteur directeur de d, alors une équation cartésienne de d est ax + by + c = 0 (avec c à déterminer).
Exemple 1. Déterminer la norme et la direction du vecteur. Étape 1 : Utiliser l’équation A = A x 2 + A y 2 pour calculer la norme du vecteur. Étape 2 : Utiliser l’équation Θ = tan − 1 ( A y A x ) pour calculer la direction du vecteur.
Pour trouver la direction d'un vecteur, vous pouvez utiliser l'angle qu'il forme avec un axe de référence, généralement l'axe des abscisses dans un plan cartésien.
Il est facile de déterminer un vecteur directeur. Si la droite est écrite sous forme réduite (soit y=ax+b y = a x + b ), le vecteur →u(1;a) u → ( 1 ; a ) fait l'affaire. Si son équation apparaît sous forme cartésienne, on prend →u(−β;α) u → ( − β ; α ) ou →u(β;−α) u → ( β ; − α ) .
Explication. Pour trouver le vecteur directeur, soustrayez les coordonnées du point initial des coordonnées du point final .
Pour trouver une équation représentant une droite, 𝐷 en trois dimensions, on choisit un point, 𝑃 , sur la droite et un vecteur non nul, ⃑ 𝑑 , parallèle à la droite, où ⃑ 𝑟 est le vecteur position de 𝑃 .
Pour calculer la direction du vecteur v = (x, y), utilisez la formule θ = arctan(y/x) , où θ est le plus petit angle que le vecteur forme avec l'axe horizontal, et x et y sont les composantes du vecteur résultant.
Pour calculer la norme d'un vecteur, il faut utiliser la formule ‖ v → ‖ = v x 2 + v y 2 . Pour calculer les coordonnées d'un vecteur, nous utilisons la formule A B → = ( x B − x A y B − y A ) . Pour maîtriser le calcul vectoriel, il convient de faire de nombreux exercices.
Une équation cartésienne de droite est une équation de la forme ax+by+c=0. Remarque : Il existe une infinité d'équations cartésiennes d'une même droite. Propriété : Si une droite a pour équation cartésienne ax+by+c=0 alors un vecteur directeur de cette droite a pour coordonnées (−b;a).
Son équation réduite s'écrit sous la forme : y = m x + p où p est un nombre réel donné. La forme générale de cette équation est : − m x + 1 y = p , ou encore m x − 1 y = − p avec a = m ; b = − 1 et c = − p .
Propriété Le vecteur (-b\: ; a) est un vecteur directeur de la droite d'équation ax + by + c = 0. Logique Réciproquement, si le vecteur (-b \:; a) est un vecteur directeur de d, alors une équation cartésienne de d est ax + by + c = 0 (avec c à déterminer). Démonstration Voir Activité B p.
On suppose que d et d′ sont perpendiculaires. Si u est un vecteur directeur de d et v de d′, alors u et v sont orthogonaux. v étant normal à d et u à d′, la propriété est vérifiée. Réciproquement, si u , vecteur normal à d, est orthogonal à v , vecteur normal à d′, alors v est un vecteur directeur de d et u de d′.
Fiches méthodes. Si on a une fonction et qu'on cherche les coordonnées d'un point de sa courbe représentative : on choisit une valeur de x et on calcule y = f(x) en remplaçant x dans l'expression f(x) donnée. On obtient ainsi les coordonnées ( x ; y = f(x) ) d'un point de la représentation graphique de la fonction f.
La direction est égale à l'angle formé avec l'axe des x ou avec l'axe des y, selon l'application. Pour un vecteur position, la direction est trouvée par θ = (ba) ⇒ θ = tan − 1 (ba) , comme illustré sur la figure 5.
Les vecteurs directeurs permettent d'étudier le parallélisme de deux droites. Théorème : Deux droites sont parallèles si, et seulement si, leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Il existe beaucoup de couples de vecteurs directeurs du plan.
→u+→v=(ux+vx,uy+vy). On peut donner une interprétation géométrique de cette opération. On considère le vecteur →u placé en n'importe quel point du plan. On place le vecteur →v à l'extrémité du vecteur →u.
Dans un repère orthonormé du plan, la distance entre deux points A et B de coordonnées respectives (xA;yA) et (xB;yB) est donnée par : AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2 .
Pour trouver la direction du vecteur manquant dans un scénario impliquant une charge positive en mouvement, un champ magnétique et une force magnétique, on peut appliquer la règle de la main droite basée sur la relation entre les vecteurs, où la force est perpendiculaire aux vecteurs de vitesse et de champ magnétique .
Les vecteurs unitaires permettent de définir la direction et le sens d'un vecteur non nul de E. Tout vecteur non nul v est la multiplication du vecteur unitaire u = v/║v║ par un nombre réel strictement positif, à savoir la norme ║v║ de v.
Les cosinus directeurs des vecteurs en 2 et 3 dimensions
Les cosinus directeurs d'un vecteur v → = ⟨ vx , vy ⟩ ou v → = ⟨ vx , vy , vz ⟩ sont les cosinus des angles que ce vecteur forme avec les axes de coordonnées. Les cosinus directeurs sont importants car ils déterminent de manière unique la direction du vecteur.
Un vecteur tracé en trois dimensions possède un point de départ, appelé origine, et un point d'arrivée, appelé extrémité. Le sens du vecteur est indiqué par une flèche partant de son origine et pointant vers son extrémité, et la longueur du vecteur est appelée la norme.
Le vecteur ⃑ 𝑑 est appelé vecteur directeur de la droite.