On appelle équation différentielle linéaire scalaire d'ordre n définie sur I toute équation de la forme x(n)(t)=an−1(t)x(n−1)(t)+an−2(t)x(n−2)(t)+⋯+a0(t)x(t)+b(t) x ( n ) ( t ) = a n − 1 ( t ) x ( n − 1 ) ( t ) + a n − 2 ( t ) x ( n − 2 ) ( t ) + ⋯ + a 0 ( t ) x ( t ) + b ( t ) avec a0,…,an−1 a 0 , … , a n − 1 et b:I→K ...
Une équation différentielle linéaire (du premier ordre) est une équation différentielle de la forme y′(x)=a(x)y(x)+b(x) y ′ ( x ) = a ( x ) y ( x ) + b ( x ) , où a et b sont des fonctions continues sur un intervalle I de R . Si a et b sont deux fonctions constantes, l'équation est dite à coefficients constants.
Une équation linéaire à une inconnue x est une équation de la forme ax + b = 0 où a et b sont des réels (ou des complexes). Les réels a et b sont appelés des coefficients, a est le coefficient devant x et b le coefficient constant. On appelle aussi cette équation, une équation du premier degré à une inconnue.
Système linéaire : Un système est dit linéaire si la fonction qui décrit son comportement est elle-même linéaire. Cette dernière vérifie alors les principes de proportionnalité et de superposition : Principe de proportionnalité : si s(t) est la réponse à l'entrée e(t) alors λ x s(t) est la réponse à l'entrée λ x e(t).
La non-linéarité est la particularité, en mathématiques, de systèmes dont le comportement n'est pas linéaire, c'est-à-dire soit ne satisfaisant pas le principe de superposition, soit dont la sortie n'est pas proportionnelle à l'entrée.
1. Qui a l'aspect continu d'une ligne, qui se traduit par des lignes : Représentation linéaire du temps. 2. Qui est sans relief, relativement monotone, plat : Un discours linéaire.
Commençons d'abord par résoudre l'équation y′=y−x y ′ = y − x . L'équation homogène admet pour solutions les fonctions x↦Cex x ↦ C e x , et une solution particulière est la fonction x↦x+1 x ↦ x + 1 . L'ensemble des solutions de cette équation est donc constituée des fonctions x↦Cex+(x+1).
La seconde méthode élémentaire de résolution des systèmes d'équations linéaires est la méthode par « combinaisons ». Elle consiste à manipuler les différentes lignes du système, en les ajoutant, les multipliant, les soustrayant, pour éliminer des termes et résoudre le système.
Pour que E soit réel, il faut que ce "quelque chose de réel") soit nul ! Exemple : pour que F=57+ i (w +4) soit réel, il faut que w+4 = 0 donc que w = -4.
La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère. La représentation graphique d'une fonction affine est une droite passant par le point de coordonnées (0 ; b). Vocabulaire : a est appelé le coefficient directeur de la droite.
Une équation différentielle du premier ordre est une équation dont l'inconnue est une fonction, et où intervient la dérivée de cette fonction. Dans ce cours l'inconnue sera une fonction y de la variable t , et sa dérivée sera donc notée y ′ .
Une fonction affine est une fonction linéaire avec l'ordonnées à l'origine b = 0 b=0 b=0. Toute fonction affine et linéaire admet une droite comme représentation graphique. Toute droite est représentée par l'équation f ( x ) = a x + b f(x)=ax+b f(x)=ax+b.
Voyons maintenant comment trouver la solution homogène des équa diff linéaires d'ordre 1. Les équa diff linéaires d'ordre 1 sont de la forme y' + a(x)y = g(x), où a(x) est une fonction (éventuellement constante). Par exemple y' + 3y = 4x – 7.
Définition : Une équation différentielle du second ordre est une équation portant sur une fonction inconnue , dans laquelle intervient sa dérivée seconde . Sa forme la plus générale est F ( x , y , y ′ , y " ) = 0 .
Définition - Une matrice est échelonnée si le nombre de 0 au début de chaque ligne est strictement croissant quand on passe d'une ligne à la suivante. Le premier élément non nul de chaque ligne dans une matrice échelonnée s'appelle le pivot.
Une matrice réelle dont toutes les colonnes sont orthogonales deux à deux est inversible si et seulement si elle n'a aucune colonne nulle. Un produit de deux matrices carrées est inversible si et seulement si les deux matrices en facteur le sont aussi.
La méthode du pivot permet d'associer `a tout syst`eme linéaire un syst`eme facile équivalent. ⎝ 2x + 3y + z = 1 −7y + 7z = 1 −7y − 3z = −2. on résout le syst`eme dérivé (par combinaison linéaire) et on conclut avec l'équation facile.
On dit que M est combinaison linéaire de A,B et C ssi M est de la forme aA + bB + cC, avec a,b,c réels. On sait dire ça de trois autres façons : on peut trouver trois nombres a,b,c vérifiant M = aA + bB + cC, il existe trois réels a,b,c vérifiant M = aA + bB + cC.
le rang d'un système d'équations linéaires est le nombre d'équations que compte tout système échelonné équivalent. Il est égal au rang de la matrice des coefficients du système.
Si tous les coefficients aij sont nuls, et si l'un au moins des bi est non nul, alors le système n'admet pas de solution : S = ∅.
Résoudre le problème de Cauchy : y (t) = y(t)(y(t) − 1)(t + 1), y(0) = 2 4 Page 5 Solution. Le théorème de Cauchy-Lipschitz assure l'existence d'une unique solution au voisinage de la condition initiale (0,2). Pour calculer cette solution on procède par separation des variables.
Solution maximale : une solution locale (J, x) est dite maximale si elle n'a pas d'autre prolongement qu'elle même ; Solution globale : une solution locale (J, x) est dite globale si elle est définie partout, i.e. si I = J.
Résoudre une telle équation différentielle, c'est trouver toutes les fonctions dérivables y définies sur I à valeurs dans R ou C vérifiant, pour tout x∈I x ∈ I , y′(x)+a(x)y(x)=b(x) y ′ ( x ) + a ( x ) y ( x ) = b ( x ) . Dans la suite, on supposera toujours que a,b sont continues sur I .