Pas de limite pour sinx quand x tend vers +00. S'il s'agit de la fonction f:x↦sinx, de R dans R, il suffit de noter que l'image de tout intervalle [A,+∞[ par cette fonction est [−1,1] et ceci suffit à prouver que cette fonction n'a pas de limite finie en +∞.
La fonction sin◦cos n'admet pas de limite en +∞. = sin(0) = 0. Donc (sin(cos(vn)))n∈N converge vers 0. Ainsi, on a trouvé deux suites de réels tendant vers +∞ dont les images par sin◦cos convergent vers des limites différentes (sin(1) = 0).
∈ DN qui tend vers a (dans Rn) la suite (f(xm))m∈N tend vers l (dans Rp). Comme pour une fonction d'une variable réelle, cette propriété sert en général à montrer que l n'est pas la limite de f en a. C'est en particulier très utile pour montrer que f n'admet en fait aucune limite en a. f(x, y) = xy x2 + y2 .
Si les images de 𝑓 ( 𝑥 ) augmentent sans borne supérieure quand 𝑥 tend vers 𝑎 des deux côtés, on dit que l i m → 𝑓 ( 𝑥 ) = + ∞ ; il s'agit d'un exemple de limite non définie.
A partir de la courbe représentative d'une fonction, on détermine sa limite en un point où elle n'est pas définie. Le fait qu'une fonction ne soit pas définie en un point ne signifie pas que la limite de la fonction en ce point n'existe pas !
Une application f : A → N admet une limite en p si (et seulement si) pour tout réel ε > 0 il existe un réel δ > 0 tel que pour tous x, y dans A ∩ B(p ; δ), on ait d(f(x) ; f(y)) < ε. (Ce théorème se généralise au cas où M est seulement un espace topologique, en remplaçant les boules B(p ; δ) par des voisinages de p.)
Pour déterminer la limite à l'infini d'une fonction du quotient, nous multiplions le numérateur et le dénominateur par l'inverse du terme de plus haut degré. Le numérateur du quotient est un polynôme, où le terme de plus haut degré est 𝑥 .
Par conséquent, l'ensemble de définition de 𝑓 est l'ensemble des nombres réels, ℝ . Pour trouver l'ensemble de définition de la dérivée, nous devons considérer les points 𝑥 auxquels 𝑓 ′ ( 𝑥 ) = 1 3 √ 𝑥 n'est pas définie. Le seul point où elle n'est pas définie est lorsque le dénominateur est égal à zéro.
Pour tout réel x, la fonction cosinus est continue au point x, donc sa limite en ce point est cos(x). Du fait de sa périodicité, elle n'a pas de limite en ±∞.
Elle est donc convergente vers un réel l∈[0,1] l ∈ [ 0 , 1 ] qui vérifie l=√l . On a donc l=0 ou l=1 , mais les valeurs initiales et le sens de variations écartent la première possibilité.
Autrement dit, peu importe la valeur en laquelle on l'étudie, la limite d'une fonction constante est toujours égale à la valeur de la constante. Dans notre cas, la constante vaut 30.
Exemple. Soit f une fonction de la variable réelle x définie par f ( x ) = − 5 x − 15 . La fonction est définie pour tous les x tels que est positif ou nul et seulement pour ceux-ci. La quantité est positive ou nulle si et seulement si − 5 x est supérieur ou égal à + 15 .
Soient I un intervalle de R, f : I → R une fonction dérivable et a ∈ I. On dit que f est deux fois dérivable en a si f est dérivable en a. La dérivée de f en a s'appelle la dérivée seconde de f en a et se note f (a). On dit que f est deux fois dérivable si f est dérivable.
Le logarithme naturel de 0 n'existe pas. Mais ln(x) tend vers l'infini négatif lorsque x tend vers 0.
Définition 2.1 Soit f : R2 → R une fonction réelle de deux variables réelles, (a, b) un point de R2 et l ∈ R. Alors, f(x, y) a pour limite l quand (x, y) tend vers (a, b) si pour tout intervalle ouvert I contenant l, il existe un disque ouvert D contenant (a, b) tel que l'image de D \ (a, b) par f est contenu dans I.
« 0/0 est une forme indéterminée » signifie que lorsqu'une suite au numérateur tend vers 0 et qu'une suite au dénominateur tend vers 0, alors tout est possible : leur quotient peut tendre vers l'infini, ou vers 0, ou vers un nombre réel, ou même vers rien du tout. Exemple 1 : un=1n et vn=12n.
Synonyme : cadre, démarcation, frontière, séparation.
domf={x∈R|f(x)∈R}. Restrictions pour déterminer le domaine d'une fonction algébrique : Si la formule contient un dénominateur, celui-ci ne doit pas être nul. Ainsi, si f est une fraction algébrique P(x)Q(x), alors domf={x∈R|Q(x)≠0}.
Points Clés. Pour une fonction 𝑓 ∶ 𝑋 → 𝑌 , l'ensemble de définition 𝑋 est l'ensemble des valeurs possibles telles que 𝑓 ( 𝑥 ) est définie : 𝑋 ∶ = { 𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑓 ( 𝑥 ) ∈ ℝ } . L'ensemble image 𝑓 ( 𝑋 ) est l'ensemble des valeurs que nous pouvons obtenir en appliquant 𝑓 à des éléments de 𝑋 : 𝑓 ( 𝑋 ) ∶ = { 𝑓 ( 𝑥 ) ∶ 𝑥 ∈ 𝑋 } .
Sa courbe représentative est une parabole.
Limite à l'infini. Soit une fonction f définie sur Df telle qu'il existe un réel a pour lequel [a;+∞[ est inclus dans Df. On dit que f est définie au voisinage de +∞. Dire que f a pour limite +∞ quand x tend vers +∞ signifie que, quel que soit le réel A, il existe m>0 tel que, pour tout x∈Df, si x>m, alors f(x)>A.