Étymologie. Dérivé régressif de homothétique inventé par le mathématicien Michel Chasles.
Deux cas particuliers doivent être mentionnés : Si k = 1, chaque point étant invariant, l'homothétie est la transformation identité : chaque point est envoyé sur lui-même ; Si k = –1, l'homothétie de rapport –1 est la symétrie centrale de centre O.
L'homothétie, notée h(O,k), h ( O , k ) , est une transformation géométrique qui permet d'agrandir ou de réduire une figure selon un rapport d'homothétie k et un centre O. O . Ainsi, une homothétie a pour conséquence d'augmenter ou de diminuer de façon proportionnelle les mesures des côtés d'une figure.
L'homothétie est la transformation de l'espace (ici le plan) qui dilate les distances par rapport à une origine O. Le rapport k de l'homothétie est le facteur par lequel les distances sont multipliées. Ce rapport peut être négatif.
est une homothétie ou une translation. Il faut bien distinguer cette propriété de la conservation du parallélisme : toute transformation affine transforme des droites parallèles en des droites parallèles ; mais seules les homothéties et les translations transforment toute droite en une droite parallèle à elle-même.
En particulier une translation ou une homothétie conserve le milieu: Si est le milieu de [AB] , son image est le milieu de [AB]. Cette propriété de conservation du barycentre s'étend au barycentre de trois points ou plus.
On construit respectivement les symétriques A', B' et C' de A, B et C par l'homothétie de centre O et de rapport -2. Pour construire A' par exemple : - On trace la droite (OA). - L'image A' de A se trouve de l'autre côté de A par rapport au point O. - OA' = 2 x OA.
Le rapport d'homothétie se calcule TOUJOURS en divisant la distance entre le centre d'homothétie et l'image d'un sommet par la distance entre le centre d'homothétie et le sommet. (OA'/OA ou OB'/OB ou OC'/OC…).
On trouve le centre d'homothétie en reliant A à A', B à B' et C à C', en prolongeant ces traits autant que nécessaire afin qu'ils se coupent en un point O. C'est le centre d'homothétie.
Une homothétie est une transformation géométrique, c'est-à-dire une règle qui associe à chaque point d'un espace un point de ce même espace. On dit aussi que c'est une application mathématique de l'espace sur lui-même.
Ayant choisi un point S qu'on nomme centre d'homothétie et un nombre k qu'on nomme rapport d'homothétie ou rapport de similitude, on appelle homothétique d'un point quelconque M le point M' obtenu en joignant SM et prenant à partir du point S, sur cette droite ou sur son prolongement un segment SM' tel que SM'/SM = k ( ...
Il existe en réalité 2 homothéties qui transforment le carré A en le carré B. Une de rapport positif et une de rapport négatif . Ces 2 rapports ont la même valeur absolue 1/2.
Définition : Agrandir ou réduire une figure, c'est construire une figure de même forme en multipliant les longueurs de la figure initiale par un nombre k strictement positif. Exemple: Soit un carré de côté 3 cm. a) Agrandir ce carré dans le rapport 1,2. → Le carré agrandi aura pour côté 3 cm × 1,2 = 3,6 cm.
Une homothétie conserve l'alignement, le parallélisme et les angles. Une homothétie multiplie les longueurs par \mid k\mid : si \mid k\mid > 1, l'image d'une figure est un agrandissement de cette figure et, si \mid k\mid < 1, l'image d'une figure est une réduction de cette figure.
Transformations : translation, rotation, homothétie.
Une application h:E → F est appelé un "homomorphisme d'espaces vectoriels" ou encore une 'application linéaire', si elle vérifie les conditions: f(u+v)=f(u)+f(v) ∀ (u,v) ∈ E×E. f(λu)=λf(u) ∀ (λ, u) ∈ K×E.
Définition 1 : On appelle transformation du plan (ou de l'espace) toute fonction bijective du plan (ou de l'espace), c'est-à-dire que tout point du plan (ou de l'espace) possède un et un seul antécédent par cette fonction. Remarque : Une projection sur une droite du plan n'est pas une transformation du plan.
L'image d'un triangle par une translation est un triangle qui lui est superposable (de mêmes dimensions).
Les origines de la géométrie remontent aux babyloniens et aux égyptiens (2000 ans avant notre ère). Le théorème dit «de Pythagore» est déjà connu dans des cas particuliers.
1. Mouvement d'un corps autour d'un point, d'un axe fixe, matériel ou non : La rotation de la Terre. 2. Fréquence de voyages effectués par un moyen de transport affecté à une ligne régulière.