En mathématiques et plus particulièrement en analyse, une
ainsi pour vérifier que f est contractante, on étudie la valeur absolue de f' sur I, il suffit de montrer que cette valeur absolue est strictement inférieure à un réel k < 1 pour conclure (il faut donc chercher le maximum de | f'| sur I.
Théorèmes du point fixe
Le plus connu est le suivant : Théorème du point fixe de Banach — Soient E un espace métrique complet et f : E → E une application contractante (c'est-à-dire k-lipschitzienne pour un certain k < 1). Alors f possède un unique point fixe. De plus, ce point fixe est attractif.
Théorème du point fixe
Soient f une fonction définie et continue sur un intervalle I dans lui‑même et (un) la suite définie par un réel u0∈I et, pour tout n∈N, un+1=f(un). Si (un) converge vers ℓ∈I, alors ℓ est solution de l'équation f(x)=x.
* L'amarrage est l'élément essentiel d'un dispositif de descente, de remontée ou de protection contre les chutes. * Il est réalisé à l'aide d'anneaux cousus et de mousquetons.
En mathématiques, un ensemble est stable ou invariant par une application ou par diverses opérations si les images de ses éléments appartiennent toutes à ce même ensemble. En analyse réelle, la notion d'intervalle stable par une fonction permet de définir par récurrence une suite dans cet intervalle.
Re : contractante
Le fait qu'une propriété différente soit vraie n'interdit pas qu'une propriété soit vraie. pour montrer qu'une fonction est contractante, il faut prouver que le k<1 existe. Pour prouver qu'elle ne l'est pas, il faut donc prouver que le k<1 n'existe pas.
En mathématiques, plus particulièrement en analyse fonctionnelle, on appelle espace de Banach un espace vectoriel normé sur un sous-corps K de ℂ (en général, K = ℝ ou ℂ), complet pour la distance issue de sa norme.
Soit ƒ une fonction continue sur un intervalle I. Soient a et b deux points de I et k un nombre compris entre ƒ(a) et ƒ(b). De plus, on suppose que ƒ est strictement monotone sur I. Alors il existe un unique point c compris entre a et b tel que ƒ(c) = k.
Un point fixe de f est une valeur d'annulation de φ. φ est continue, φ(0)=f(0)≥0 et φ(1)=f(1)-1≤0 donc, par le théorème des valeurs intermédiaires, φ s'annule. Soit f:[a;b]→ℝ continue.
Pour que f(x)=0, il faut forcément que le numérateur soit nul. Donc il faut résoudre l'équation suivante: C'est une équation du 3e degré, mais avec une racine évidente en x=0, donc tu peux en tirer une équation du 2e degré, qu'il faut résoudre.
Si f est une fonction dérivable sur un intervalle contenant un réel a, la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a a pour équation: y = f(a) + f′(a)(x - a) .
Méthode 6 : Comment résoudre graphiquement l'équation f(x)=0 ? Pour résoudre l'équation f(x)=0, on trace Cf. Les abscisses des points d'intersection de Cf et de l'axe des abscisses sont les solutions !
Définition : Soit une suite réelle; on dit que est une suite de Cauchy ou vérifie le critère de Cauchy si : quel que soit , il existe un entier tel que les inégalités p ≥ N et n ≥ N entraînent | u p − u n | < ϵ .
Re: Q n'est pas (au blé) complet
Si une suite de rationnels (un) converge vers un irrationnel r , alors c'est une suite de Cauchy. Cependant, elle n'admet pas de limite dans Q . Or, si Q était complet, toute suite de Cauchy à éléments rationnels (donc, en particulier, la suite (un) ) convergerait vers un rationnel.
La topologie faible et la topologie de la norme coïncident si et seulement si X est de dimension finie. Si X est de dimension infinie, la topologie faible n'est pas métrisable. Si une suite (xn) converge vers x pour la topologie faible, alors la suite des normes (∥xn∥) est bornée et on a ∥x∥≤liminfn∥xn∥.
On dit que γ∈E γ ∈ E est un point fixe de f si f(γ)=γ. f ( γ ) = γ . Si f est définie sur un intervalle I de R , cette propriété se traduit graphiquement par le fait que la courbe représentative de f coupe la droite d'équation y=x en le point (γ,γ).
On dit que F est stable par u (ou u -stable) si u(F)⊂F.
Dresser un tableau de variation à partir d'une courbe
Les reporter sur la première ligne du tableau. Faites ensuite correspondre dans la deuxième ligne une flèche montante pour chaque intervalle où la fonction est croissante, et une flèche descendante lorsqu'elle est décroissante.
La forme ax2 + bx + c est appelée la forme développée de f. On admet que cette forme est unique. Soit a, b et c, trois réels où a ≠ 0. Cette forme est appelée la forme canonique du polynôme.
On place les valeurs pour lesquelles f change de sens de variation dans la première ligne du tableau de variations. On trace une flèche qui monte dans la deuxième ligne du tableau lorsque f est croissante et une flèche qui descend lorsque f est décroissante.
Le coefficient directeur d'une droite (AB) non parallèle à l'axe des ordonnées est égal à xB−xAyB−yA.
Un point M(x;y) appartient à la courbe représentative de f si et seulement si x∈Df et f(x)=y. On considère la fonction f telle que, pour tout réel x, f\left(x\right) = x^2+4x-1.
alors, le coefficient directeur de la droite (AB) se calcule par la formule a = y B − y A x B − x A .
On peut retenir l'ordre des signes grâce au raisonnement suivant : si le coefficient directeur a est positif, la fonction est croissante donc d'abord négative puis positive. si le coefficient directeur a est négatif, la fonction est décroissante donc d'abord positive puis négative.