Une expérience aléatoire est une expérimentation ou un phénomène conduisant à plusieurs résultats, et pour lequel on ne peut pas savoir a priori le résultat qui se produira. Ces différents résultats sont appelés issues (ou résultats, épreuves, possibilités…).
Une expérience est dite aléatoire lorsqu'elle a plusieurs résultats possibles et qu'on ne peut pas prévoir lequel sera obtenu. Le résultat d'une telle expérience est uniquement dû au hasard.
L'univers associé à une expérience aléatoire est l'ensemble de toutes les éventualités qu'implique le résultat de cette expérience. L'univers est noté par la majuscule grecque Ω (qui se lit oméga).
On dit d'une expérience qu'elle est aléatoire lorsqu'elle vérifie trois conditions : – on connaît tous les résultats possibles de l'expérience ; – le résultat n'est pas prévisible ; – on peut reproduire plusieurs fois l'expérience dans les mêmes conditions.
On appelle univers d'une expérience aléatoire, noté Ω (se prononce « omega »), l'ensemble de toutes les issues possibles de l'expérience. L'univers de l'expérience aléatoire consistant à lancer un dé à 6 faces et à regarder le chiffre obtenu est : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Définitions : Une expérience (lancer une pièce par exemple) est aléatoire lorsqu'elle a plusieurs résultats ou issues (PILE ou FACE par exemple) et que l'on ne peut pas prévoir quel résultat se produira. L'ensemble de toutes les issues d'une expérience s'appelle l'univers.
- Chaque résultat possible d'une expérience aléatoire est appelé une issue. - Un ensemble d'issues est appelé un évènement.
Dans une expérience aléatoire, on appelle univers l'ensemble de toutes les issues possibles. On le note souvent . Lorsque l'on lance une pièce de monnaie, l'univers est constitué des deux issues Pile et Face et on note : = {Pile ; Face}.
On appelle variable aléatoire discrète une application X de Ω dans E telle que X(Ω) est fini ou dénombrable et, pour tout x∈E x ∈ E , X−1({x})∈T X − 1 ( { x } ) ∈ T . On dit que X est une variable aléatoire discrète réelle si E=R .
Donc combien il ya de chances que ça se produise par rapport à combien de situations sont possibles à la fin de l'expérience aléatoire. Voilà pourquoi une probabilité est toujours un nombre compris entre 0 et 1. Une probabilité de 0 c'est la probabilité d'un événement qui se passera jamais !
Les mathématiques permettent de rendre cette expérience de lancers de dés en partie prévisible en dévoilant qu'un dé donne deux fois plus de chances de gagner qu'un autre. Ce qui permet de choisir « raisonnablement » son dé plutôt que de se fier au simple hasard.
L'univers pourrait alors osciller entre un Big Bang et Big Crunch. L'univers pourrait être cyclique, alternant éternellement entre un Big Crunch et un Big Bang. Les concepts de passé et de futur de l'univers n'auraient alors plus de sens puisque le passé deviendrait le futur et le futur deviendrait le passé.
Définition 3.4 : L'univers fini Ω est probabilisé si à chaque événement A ∈ T(Ω) est associé un nombre P(A) ≥ 0, appelé probabilité de A de telle sorte que pour A, B ∈ T(Ω) les deux propriétés suivantes soient satisfaites : 1) P(Ω) = 1 2) A ∩ B = ∅ =⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Nombre aléatoire,
nombre dont chaque chiffre est obtenu par tirage au sort à égalité de chances.
Aléatoire signifie imprévisible, lié au hasard. Ce terme désigne quelque chose, un événement le plus souvent, que l'on ne peut prévoir, dont le résultat est incertain. Exemple : Les résultats du loto sont aléatoires.
Il y a deux catégories d'expériences, l'observation et l'expérimentation.
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N . Alors on appelle loi de X la donnée de la suite (pn)n∈N ( p n ) n ∈ N définie par pn=P(X=n) p n = P ( X = n ) .
2.2 Loi de probabilité
Une variable aléatoire est caractérisée par l'ensemble des valeurs qu'elle peut prendre et par l'expression mathématique de la probabilité de ces valeurs. Cette expression s'appelle la loi de probabilité (ou distribution de probabilité) de la variable aléatoire.
Une fonction aléatoire est un type d'élément aléatoire dans lequel un seul résultat est choisi parmi une famille de fonctions, où la famille est constituée de tous les plans du domaine et du codomaine. Par exemple, la classe peut être limitée à l'ensemble des fonctions continues ou à toutes les fonctions étagées.
On peut définir ainsi une variable aléatoire ! sur E = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} qui donne le gain et qui peut prendre les valeurs 2 ou –1. Pour les issues 5 et 6, on a : ! = 2 Pour les issues 1, 2, 3 et 4, on a : !
Définition. Tout événement non prédictible, c'est-à-dire qu'on ne peut prédire sa probabilité ou sa valeur exacte. Par exemple, on ne peut pas prédire la probabilité de tomber dans un escalier au cours des dix prochaines années, car il s'agit d'un événement totalement aléatoire.
Contrairement à une variable continue, une variable discrète ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs réelles possibles à l'intérieur d'un intervalle donné.
Soit (Ω,T,P) ( Ω , T , P ) un espace de probabilité et X:Ω→R X : Ω → R une variable aléatoire admettant une densité f . On dit que X est d'espérance finie ou que X admet une espérance si l'intégrale ∫+∞−∞tf(t)dt ∫ − ∞ + ∞ t f ( t ) d t converge absolument.
Une variable aléatoire réelle est une application X : Ω → R telle que : ∀x ∈ R, [X ≤ x] = {ω ∈ Ω | X(ω) ≤ x} ∈ A . Soit X une variable aléatoire réelle. Pour tout intervalle I de R : [X ∈ I] = {ω ∈ Ω, X(ω) ∈ I} ∈ A .
Le résultat de certaines actions, que l'on appellera « expériences » en mathématiques, comme lancer un dé à 6 faces et relever le nombre obtenu ou jouer à pile ou face, est le fruit du hasard. Ces expériences sont dites « aléatoires », adjectif venant du latin alea signifiant également « dé ».