Quel est le plus grand diviseur commun de 52, 84, 108 et 140 ? 13.
Cette méthode consiste à diviser simultanément les nombres étudiés par des diviseurs premiers. Le PGCD sera alors le produit de ces diviseurs premiers. Cette méthode est plus rapide et efficace lorsque l'on cherche le PGCD entre deux grands nombres.
2) 756 441 n'est donc pas irréductible. On calcule le PGCD de 756 et 441 (ce sera un multiple de 3) ; il s'agit de 63.
Méthode d'Euclide
La recherche du PGCD par la méthode des divisions euclidiennes est la conséquence du lemme d'Euclide. Lemme d'Euclide : soit un couple d'entiers naturels non nuls (a,b), si des entiers naturels q et r, avec r ≠ 0, sont tels que a = bq + r , alors : PGCD(a,b) = PGCD(b,r).
561÷357 (à la calculatrice touche ÷R) on obtient 1 en quotient et 204 en reste. Après, on continue : On divise le plus petit des deux nombres de la division précédente par le reste de cette division. --> Le dernier reste non nul est 51 donc PGCD (357 ; 561) = 51.
PGCD (84 ; 270) = 6. On dit que deux nombres sont premiers entre eux lorsqu'ils n'ont que 1 comme diviseur commun.
2/ PGCD (156; 130) = 26. Les diviseurs communs de deux nombres sont tous les diviseurs du plus grand commun diviseur (PGCD).
Pour trouver le plus grand facteur commun entre deux ou plusieurs nombres, faites une liste de tous les facteurs de chacun d'eux. Par exemple, pour le nombre 10, les facteurs sont 1, 2, 5 et 10, et pour le nombre 21, les facteurs sont 1, 3, 7 et 21.
Le PPCM est égal 84 × 270 ÷ 6 soit 3 780. Le PGCD est égal au dernier reste non nul : 6.
Le plus grand diviseur commun aux deux nombres est 90.
1. Les nombres 756 et 441 sont-il premiers entre eux ? Justifier. La somme des chiffres de 756 est 15 ; la somme des chiffres de 441 est 9 756 et 441 ne sont pas premiers entre eux car ils sont tous les deux divisibles par 3.
Le plus grand de ces diviseurs est 18. On note : PGCD(72, 54) = 18.
Les diviseurs communs à 210 et 350 sont : 1, 2, 5, 7, 35 et 70. d. Le PGCD de 210 et 350 est 70.
162 = 2 × 81 = 2 × 9 × 9=2 × 32 × 32 = 2 × 34. 108 = 2 × 54 = 2 × 2 × 27 = 22 × 33. 2. Les diviseurs communs à 162 et 108 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 ; 27 et 54.
Un diviseur commun à deux ou plusieurs nombres entiers est un nombre entier qui divise chacun d'eux. Exemple : 36 = 12 × 3 et 24 = 12 × 2. Donc 12 est un diviseur commun à 36 et à 24.
Par exemple, les diviseurs communs à 36, 48 et 60 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12 donc PGCD(36, 48, 60) = 12.
5. Calculer le PPCM. Le plus petit commun multiple est le produit de tous les facteurs dans le plus grand nombre de leur occurrence. Le plus petit commun multiple de 60, 72 et 84 est 2520.
La décomposition en facteurs premiers de 140 est : 140 = 2×2×5×7. La décomposition en facteurs premiers de 870 est : 870 = 2×3×5×29.
Les diviseurs communs à 48 et 72 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 12 ; 24 . Le PGCD de 48 et 72 est donc : 24 .
Théorème — Soient a, b, v trois entiers, alors PGCD(a, b) = PGCD(a + bv, b). Cette propriété fonde l'algorithme d'Euclide, une méthode qui permet de déterminer le PGCD de deux nombres (voir plus bas).
✓ Cherchons tous les autres diviseurs communs de 36 et 54. Les diviseurs de 36 sont : Les diviseurs de 54 sont : Donc les diviseurs communs à 36 et 54 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 et 18. ✓ Le PGCD de 36 et 54 est donc 18.
Diviseurs de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 et leurs opposés. Diviseurs de 60 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 et leurs opposés. Diviseurs communs de 24 et 60 : 1, 2, 3, 4, 6, 12 et leurs opposés. Le plus grand de ces diviseurs est 12.
PGCD (34 ; 51) = 17, donc les nombres 25 et 48 ne sont pas premiers entre eux.