La loi hypergéométrique (loi d'une variable aléatoire lors d'un tirage sans remise) peut être approchée par la loi binomiale lorsque le nombre d'individus de la population est très grand devant le nombre d'individus étudiés. On peut alors également approcher la loi binomiale par une des deux lois précédentes.
La loi binomiale étant discrète, elle est représentée par un diagramme en bâtons. La loi normale, étant continue, est représentée une courbe. L'approximation de la loi binomiale par la loi normale est une loi continue représentée par un histogramme.
Une variable aléatoire X suit une loi binomiale lorsqu'elle compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli (répétition un nombre fini de fois de façon indépendante d'une même épreuve de Bernoulli).
Elle peut être utilisée dans un grand nombre de situations, c'est ce qui la rend si utile. Lorsqu'un phénomène est influencé par de nombreux facteurs dont aucun n'est prépondérant les résultats des mesures de ce phénomène obéissent à une loi normale.
Sommaire. Si certaines conditions sont vérifiées, on peut approcher une loi binomiale de paramètres n et p par une loi normale. Ceci peut servir pour obtenir une approximation d'une probabilité de la forme p\left(c\leqslant X \leqslant d\right). En particulier, on peut utiliser la loi normale centrée réduite.
La loi de probabilité donnant le nombre de succès sur ces n répétitions est la loi binomiale de paramètres n et p (notée B(n;p)). Il s'agit en fait d'une généralisation de la loi de Bernoulli dans le cas où l'on répète plusieurs fois l'expérience.
avec μ1 + μ2 = μ et σ1 + σ2 = σ. Autrement dit, si la somme de deux variables aléatoires indépendantes est normale, alors les deux variables sont de lois normales.
La loi normale est caractérisée par un coefficient d'asymétrie et un coefficient d'aplatissement nuls. Ces indicateurs peuvent donc également nous donner une idée, ne serait-ce que très approximative, du rapprochement possible de la distribution empirique avec une gaussienne.
En statistiques, les tests de normalité permettent de vérifier si des données réelles suivent une loi normale ou non. Les tests de normalité sont des cas particuliers des tests d'adéquation (ou tests d'ajustement, tests permettant de comparer des distributions), appliqués à une loi normale.
La représentation graphique d'une loi normale est parfois appelée courbe en cloche, en raison de sa forme évasée à la base. La forme exacte varie selon la répartition de la population, mais le sommet est toujours situé au milieu et la courbe est toujours symétrique.
La loi binomiale négative est une loi de probabilité proche de la loi géométrique. Cette dernière s'applique à une variable discrète qui compte le nombre d'essais avant d'arriver à un succès (de probabilité p).
Une variable aléatoire discrète qui suit une loi de Poisson de paramètre lambda est définie par la formule suivante : Donc, à chaque fois que X va prendre la valeur k alors sa probabilité sera égale à : 👉 Une loi de probabilité est discrète quand l'expérience aléatoire ne peut prendre qu'un nombre limité de valeurs.
Utilisez la loi hypergéométrique avec des populations très faibles afin que le résultat d'un essai ait un effet important sur la probabilité selon laquelle le résultat suivant sera un événement ou un non-événement. Par exemple, dans une population de 10 personnes, 7 sont du groupe sanguin O+.
Elle décrit la probabilité qu'un événement se réalise durant un intervalle de temps donné, lorsque la probabilité de réalisation d'un événement est très faible et que le nombre d'essais est très grand.
L'écart-type
Il détermine la répartition de points de données par rapport à la moyenne. L'écart-type définit la largeur de la courbe ainsi que la distance entre la moyenne et les points de données. Si la valeur de l'écart-type est faible, la courbe est pointue. S'il est élevé, la courbe s'aplatit.
Le test de Shapiro-Wilk (W) est utilisé pour tester la normalité. Si la statistique W est significative, il faut alors rejeter l'hypothèse selon laquelle la distribution correspondante est normale.
Comme d'autres tests, ce test repose sur deux hypothèses : H0 (nulle) : la distribution est gaussienne. H1 (alternative) : La distribution est non gaussienne. Si la p value des test KS est inférieur à 5%, on rejette H0 et on conclue que la distribution est non gaussienne.
Définition d'une distribution normale
Définition : la distribution normale est la distribution statistique de valeurs suivant une loi normale. C'est à dire des valeurs reposant sur un grand nombre de facteurs aléatoires.
La loi normale est la loi statistique la plus répandue et la plus utile. Elle représente beaucoup de phénomènes aléatoires. De plus, de nombreuses autres lois statistiques peuvent être approchées par la loi normale, tout spécialement dans le cas des grands échantillons.
Variable gaussienne : variable aléatoire dont la densité est entièrement déterminée par la donnée de ses deux premiers moments, dit moyenne et variance.
µ = 0 et σ = 1 : loi normale centrée/réduite. µ = 0 et σ = 1 : loi normale centrée/réduite. Pour la tracer `a la calculatrice/ordinateur, y = 1 σ√2π exp ( − (x − µ)2 2σ2 ) .
Pour le calcul de P (X ≤ a) dans le cas ou X suit une loi N (μ, σ²) : On utilise la propriété suivante : Si x ≥ μ, on utilise P (X ≤ x) = 0,5+ P (μ ≤ X ≤ x). Si x ≤ μ, on utilise P (X ≤ x) = 0,5- P (x ≤ X ≤ μ).
La loi binomiale fait partie des plus anciennes lois de probabilités étudiées. Elle a été introduite par Jacques Bernoulli qui y fait référence en 1713 dans son ouvrage Ars Conjectandi.
Pour centrer et réduire la loi normale, on soustrait d'abord 𝜇 = 1 0 5 de chaque côté. Puis, on divise chaque côté par 𝜎 = 3 . Enfin, on remplace par 𝑍 le terme 𝑋 − 𝜇 𝜎 : 𝑃 ( 𝑋 < 1 0 5 ) = 𝑃 ( 𝑋 − 𝜇 < 0 ) = 𝑃 𝑋 − 𝜇 𝜎 < 0 = 𝑃 ( 𝑍 < 0 ) .
La loi de Bernoulli permet de démontrer plusieurs résultats concernant les lois binomiales. Soit X une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli de paramètre p. L'espérance mathématique de X est E(X)=p. La variance de X est V(X)=p(1−p).