En théorie des probabilités et en statistique, les lois normales sont parmi les lois de probabilité les plus utilisées pour modéliser des phénomènes naturels issus de plusieurs événements aléatoires.
La loi normale s 'applique en général à une variable aléatoire continue représentée par l'ensemble des valeurs qu'elle prend n'est pas dénombrable (un intervalle). Ex: glycémie; cholestérolémie ;poids……
Elle peut être utilisée dans un grand nombre de situations, c'est ce qui la rend si utile. Lorsqu'un phénomène est influencé par de nombreux facteurs dont aucun n'est prépondérant les résultats des mesures de ce phénomène obéissent à une loi normale.
Définition du test de Student
Le test de Student est un outil permettant de vérifier une hypothèse formulée sur un jeu de données. Il est principalement utilisé lorsque l'on sait que l'échantillon de données est supposé suivre une loi normale, comme lorsque l'on joue 100 fois de suite au pile ou face.
Une variable aléatoire X suit la loi de Student à n degrés de liberté si elle est absolument continue et admet pour densité : f(x)=1√nπΓ(n+12)Γ(n2)(1+x2n)−n+12. f ( x ) = 1 n π Γ ( n + 1 2 ) Γ ( n 2 ) ( 1 + x 2 n ) − n + 1 2 .
On dit qu'une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite, ce que l'on note X↪N(0,1) X ↪ N ( 0 , 1 ) si elle est continue et admet pour densité : f(x)=1√2πexp(−x22). f ( x ) = 1 2 π exp Une telle variable aléatoire X admet alors une espérance et une variance : E(X)=0 et V(X)=1.
Distribution normale et son importance
Essentiellement, la distribution normale peut être utilisée pour comprendre différentes données statistiques relatives à une population donnée . Les données statistiques peuvent inclure : âge, taille, notes et bien plus encore.
Pour les données continues, le test de normalité est très important car , en fonction de l'état de normalité, les mesures de tendance centrale, de dispersion et la sélection du test paramétrique/non paramétrique sont décidées .
Une distribution normale est une distribution de probabilité commune . Il a une forme souvent appelée « courbe en cloche ». De nombreux ensembles de données du quotidien suivent généralement une distribution normale : par exemple, la taille d'humains adultes, les résultats d'un test donné à une grande classe, les erreurs de mesure.
Pour le calcul de P (X ≤ a) dans le cas ou X suit une loi N (μ, σ²) : On utilise la propriété suivante : Si x ≥ μ, on utilise P (X ≤ x) = 0,5+ P (μ ≤ X ≤ x). Si x ≤ μ, on utilise P (X ≤ x) = 0,5- P (x ≤ X ≤ μ).
Le Droit au quotidien
À tout moment et à toute occasion, les actes des citoyens et de la puissance publique se réfèrent à des textes de loi, des décrets, des conventions, généralement à une règle de droit qui s'applique à tous de la même manière.
Qu’est-ce qu’une courbure normale du pénis ? La courbure du pénis varie généralement de 5 à 30 degrés . Une courbe de 5 degrés dans votre pénis ressemble à celle que les aiguilles d’une horloge analogique indiquent 9h13. Une courbe de 30 degrés apparaît lorsque les aiguilles indiquent 9h10.
Si 𝑋 suit une loi normale de moyenne 𝜇 et d'écart-type 𝜎 , alors 𝐸 ( 𝑍 ) = 𝐸 𝑋 − 𝜇 𝜎 . Par linéarité de l'espérance, le membre droit est donc égal à 1 𝜎 𝐸 ( 𝑋 ) − 𝜇 𝜎 , qui est égal à zéro car 𝐸 ( 𝑋 ) = 𝜇 . Donc, comme indiqué plus tôt, 𝐸 ( 𝑍 ) = 0 .
Répondre. Le premier avantage de la distribution normale est qu'elle est symétrique et en forme de cloche . Cette forme est utile car elle peut être utilisée pour décrire de nombreuses populations, depuis les notes en classe jusqu'aux tailles et poids.
En général, un seuil de signification (noté alpha ou α) de 0,05 fonctionne bien. Un seuil de signification de 0,05 indique un risque de 5 % de conclure que les données ne suivent pas une loi normale alors qu'elles suivent une loi normale.
Il est trop facile de tomber dans le piège consistant à supposer que la plupart des ensembles de données sont normalement distribués. L'un des inconvénients de l'utilisation de la distribution normale pour les calculs de fiabilité est le fait que la distribution normale commence à moins l'infini . Cela peut entraîner des valeurs négatives pour certains résultats.
Les courbes normales sont un outil utile dans la résolution de problèmes car elles se rapprochent avec précision de nombreux phénomènes naturels et elles sont relativement faciles à résoudre en ne nécessitant que la moyenne et l'écart type . Des exemples de phénomènes qui suivent la courbe normale incluent la taille d'une population, le revenu et le QI.
Ici, nous voyons les quatre caractéristiques d’une distribution normale. Les distributions normales sont symétriques, unimodales et asymptotiques, et la moyenne, la médiane et le mode sont tous égaux . Une distribution normale est parfaitement symétrique autour de son centre. Autrement dit, le côté droit du centre est une image miroir du côté gauche.
Les distributions normales ont des caractéristiques clés faciles à repérer dans les graphiques : la moyenne, la médiane et le mode sont exactement les mêmes . La distribution est symétrique par rapport à la moyenne : la moitié des valeurs sont inférieures à la moyenne et l'autre moitié au-dessus de la moyenne. La distribution peut être décrite par deux valeurs : la moyenne et l'écart type.
Le test de Student cas d'un seul échantillon est aussi appelé test de conformité, ce test a pour but de vérifier si notre échantillon provient bien d'une population avec la moyenne spécifiée, µ0, ou s'il y a une différence significative entre la moyenne de l'échantillon et la moyenne présumée de la population.
Pour les données qui suivent une loi normale, nous privilégions toujours les tests paramétriques. C'est à dire le test T de Student et l'ANOVA. Si cette condition n'est pas remplie, nous devons utiliser des tests non paramètriques tel que le test de Wilcoxon, test de Mann Whitney ou un Kruskal Wallis.
Le score T est en fait le score Z multiplié par 10, auquel on ajoute 50. Ainsi, lorsqu'elle est transformée en score T, la moyenne d'une distribution normale prend la valeur de 50, alors que l'écart-type a une valeur de 10. La valeur de T se calcule donc à partir de la valeur Z préalablement calculée.