Si la fonction f est impaire, sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine. L'intégrale entre a et -a est nulle car l'aire comprise entre -a et 0 aura un signe moins alors que celle entre 0 et a aura la même valeur mais avec un signe +.
Quelle proposition montre que f est une fonction impaire ? f est impaire si et seulement si : Son domaine de définition est centré en 0. \forall x \in D_f, f\left(-x\right)=-f\left(x\right)
La dérivée d'une fonction paire dérivable est une fonction impaire ; la dérivée d'une fonction impaire dérivable est une fonction paire. Une primitive d'une fonction impaire continue sur E n'est pas forcément paire, sauf si E est un intervalle.
L'intégrale de la fonction nulle est nulle sur tout intervalle inclus dans l'ensemble des réels ; les primitives de la fonction nulle (sur ℝ) sont donc les fonctions constantes.
Conseil On peut s'aider de la courbe de f pour conjecturer si elle paire, impaire ou ni l'un ni l'autre. Si f(−x)=f(x) alors f est paire. Si f(−x)=−f(x) alors f est impaire.
Solution Il faut tout d'abord déterminer la valeur de f(−x). Si f(−x)=f(x), la fonction est paire, si f(−x)=−f(x), la fonction est impaire et si on n'obtient aucune des deux égalités précédentes, la fonction n'est ni paire ni impaire.
Une partie A d'un espace métrique borné (E,d) est dite bornée s'il existe x∈E x ∈ E et M>0 tel que A⊂B(x,M), A ⊂ B ( x , M ) , c'est-à-dire que, pour tout x∈A, x ∈ A , d(x,a)≤M. d ( x , a ) ≤ M .
Théorème : L'intégrale sur un segment d'une fonction continue de signe constant est nulle si et seulement si cette fonction est nulle. Proposition : Soit f:[−a,a]→C f : [ − a , a ] → C une fonction continue par morceaux.
En mathématiques, une fonction continue nulle part dérivable est une fonction numérique qui est régulière du point de vue topologique (c'est-à-dire continue) mais ne l'est pas du tout du point de vue du calcul différentiel (c'est-à-dire qu'elle n'est dérivable en aucun point).
Si son intégrale est nulle, c'est que la fonction est identiquement nulle. Or, $1-e^{-t}$ ne s'annule qu'en $t=0$. On a donc, pour tout $t\in ]0,1]$, $f'(t)=f(t)$, et cette égalité est encore vraie en $0$ puisque les fonctions sont continues.
Un nombre entier exprimé dans le système de numération décimal est pair ou impair si son dernier chiffre est pair ou impair. Suivant cela, si le dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8 alors le nombre est pair ; si le dernier chiffre est 1, 3, 5, 7 ou 9 alors le nombre est impair.
Définitions f est une fonction paire lorsque \mathcal{D}_f est centré en 0 et, pour tout réel x de \mathcal{D}_f, f(-x)=f(x). f est une fonction impaire lorsque \mathcal{D}_f est centré en 0 et, pour tout réel x de \mathcal{D}_f, f(-x)=-f(x).
Une fonction est paire si f(x) = f(x) pour toutes les valeurs de x de son domaine. En d'autres termes, fest une fonction paire si f(-x) = f(x), Vx € Dƒ. Une fonction est impaire si f(x) = f(x) pour toutes les valeurs de x de son domaine. En d'autres termes, fest une fonction paire si f(x) = -f(x), Vx € Dƒ.
Intégrale d'une fonction positive :
L'intégrale de a à b de f est égale à l'aire (en unité d'aire) du domaine D délimité par la courbe C, l'axe des abscisses et les droites verticales d'équation x = a x=a x=a et x = b x=b x=b.
Le concept d'intégrale a été raffiné depuis son introduction au XVII e siècle par Leibniz et Newton, permettant ainsi de les calculer pour des fonctions de moins en moins régulières. On rencontre ainsi aujourd'hui les intégrales dites de Riemann, de Lebesgue ou de Kurzweil-Henstock.
La fonction t↦∫b(t)a(t)f(x,t)dx pour t∈T est 'bien définie' si l'intégrale existe pour toutes les valeurs de t dans l'intervalle T.
Exemple 1.7 (Valeur absolue)
Soit f la fonction « valeur absolue » : f (x) = |x|. f (x)−f (0) x =−1. Ainsi f est dérivable à droite et à gauche en 0 : fd (0)=+1 et fg (0) = −1, mais fg (0) = fd (0) donc f n'est pas dérivable en 0.
Il s'agit en fait d'une propriété générale : une fonction n'est pas dérivable aux points où elle n'est pas continue. Pour cet exemple, la solution la plus efficace aurait ainsi été de montrer d'abord que la fonction n'était pas continue et donc pas dérivable.
Une fonction réelle d'une variable réelle est dérivable en un point a quand elle admet une dérivée finie en a, c'est-à-dire, intuitivement, quand elle peut être approchée de manière assez fine par une fonction affine au voisinage de a.
La différence entre primitive et intégrale est qu'une primitive est une fonction tandis qu'une intégrale est un réel exprimé comme une aire algébrique (pouvant être négatif).
Grossièrement, l'intégrale de f représente l'aire entre la courbe de f et l'axe des abscisses en comptant positivement ce qui est au-dessus et négativement ce qui en-dessous de cet axe. Si ton intégrale a l'air négative c'est que l'aire en-dessous de l'axe des abscisses est plus importante que celle qui est au-dessus.
Critères d'intégrabilité
Une fonction réglée est intégrable sur un intervalle fermé. En particulier on en déduit que les fonctions continues, continues par morceaux, monotones ou encore à variations bornées sont toutes intégrables sur un intervalle fermé.
Sur un tel espace, toute fonction continue f à valeurs réelles atteint automatiquement sa borne supérieure M (sinon, la fonction 1/(M – f) serait continue et non bornée) et, de même, sa borne inférieure. Le théorème des bornes peut donc s'énoncer ainsi : tout segment réel est pseudo-compact.
On dit que la suite u est bornée lorsqu'elle est à la fois majorée et minorée. Si la suite u est une suite croissante et majorée, alors elle converge.
Au fait pour montrer qu'un ensemble n'est pas borné, on peut comme le dit Bisam trouver une suite de points dont la norme tend vers l'infini, ou alors montrer qu'il contient un ensemble non borné. Pour tes deux exemples on trouve facilement des droites qu'ls contiennent, et on sait qu'une droite n'est pas bornée.