Le taux d'accroissement de la fonction f entre 0 et 0 + h n'a pas de limite en 0. Par conséquent la fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0.
La limite à gauche n'est pas égale à la limite à droite, et par conséquent, la limite du quotient différentiel de f(x) = |x| en x = 0 n'existe pas . Ainsi, la fonction valeur absolue n'est pas dérivable en x = 0.
Dérivée : la fonction valeur absolue est dérivable partout sauf pour x=0. x = 0. Soit la fonction f telle que f(x)=|x|, f ( x ) = | x | , alors pour tout x∈]−∞;0[, x ∈ ] − ∞ ; 0 [ , sa dérivée s'écrit f′(x)=−1 f ′ ( x ) = − 1 et pour tout x∈]0;+∞[ x ∈ ] 0 ; + ∞ [ nous avons f′(x)=1.
Pour un intervalle fermé [ 𝑎 ; 𝑏 ] , la fonction ne peut pas être dérivable en 𝑥 = 𝑎 car la limite existerait uniquement d'un côté de 𝑎 ; on dit toutefois qu'une fonction est dérivable sur [ 𝑎 ; 𝑏 ] quand elle est dérivable sur ( 𝑎 ; 𝑏 ) et dérivable à droite en 𝑥 = 𝑎 et à gauche en 𝑥 = 𝑏 .
Qu'est-ce que la dérivée d'une fonction valeur absolue ? La dérivée d'une fonction valeur absolue, et de toute fonction en général, est la pente de la tangente à la courbe en un point donné. Comme ces fonctions sont définies par morceaux, on peut dériver chaque morceau séparément .
Le taux d'accroissement de la fonction f entre 0 et 0 + h n'a pas de limite en 0. Par conséquent la fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0.
En fait démontrer que f n'est pas dérivable en 0, il suffit de démontrer que g(x)=f(x)x n'a pas de limite quand x tend vers 0+.
Règles pour les fonctions différentiables
(f - g)' = f' - g' (fg)' = f'g + fg' (f/g)' = (f'g - fg')/f .
la limite en 0 de n'existe pas. On ne peut alors parler ni de nombre dérivé, ni de tangente en . Les limites à droite et à gauche en 0 du rapport n'étant pas égales, on ne peut parler de limite en 0. La fonction valeur absolue n'est donc pas dérivable en 0.
Propriété La fonction valeur absolue f est strictement décroissante sur ] - \infty \: ; 0 ] et strictement croissante sur [ 0 \: ; + \infty [. Son minimum sur \mathbb { R } est 0 et il est atteint pour x = 0 . Démonstration Sur ] - \infty \: ; 0 ], f est définie par f(x) = -x .
Si k<n, [xk](n)=0, si k=n, [xk](k)=k !, si k>n, [xk](n)=[k !/(k-n) !] xk-n. § Un polynôme, une fraction rationnelle sur un intervalle où elle est définie, est indéfiniment dérivable. Si P(x)=a0+a1x+…
Lorsque le taux d'accroissement admet deux limites différentes à droite et à gauche en xo, alors f n'est pas dérivable en ce point. Mais la courbe représentative de f admet deux demi-tangentes en xo et leur intersection est appelée un point anguleux.
La dérivée de la fonction valeur absolue, f(x) = |x|, n'est pas définie en x = 0. Cela s'explique par le fait que la fonction valeur absolue présente un angle aigu en ce point. Notez encore que la dérivée en x = 0 n'existe pas en raison de l'angle aigu dans le graphique de la fonction valeur absolue à ce point.
Une fonction f:I→R f : I → R est donc dérivable en a si et seulement s'il existe α∈R α ∈ R et une fonction ε définie dans un intervalle J ouvert contenant 0 , vérifiant limh→0ε(h)=0 lim h → 0 ε ( h ) = 0 tels que ∀h∈J, f(a+h)=f(a)+αh+hε(h). ∀ h ∈ J , f ( a + h ) = f ( a ) + α h + h ε ( h ) .
La fonction de Weierstrass est un monstre mathématique: continue partout, dérivable nulle part. Cette fonction a été trouvée en 1872 par le mathématicien prussien Karl Weierstrass. Formellement, il s'agit d'une somme infinie de cosinus.
Si f est constante, alors f est différentiable, même C1, et Daf = 0. En effet, on a f(a + h) = f(a)+0+0. 2. Si f est la restriction d'une application linéaire, alors f est de classe C1 et Daf = f pour tout a 2 U.
2) Sens de variation et signe de la dérivée
f est croissante sur I si et seulement si pour tout x de I, f ′(x) est positive ou nulle. f est décroissante sur I si et seulement si pour tout x de I, f ′(x) est négative ou nulle. f est constante sur I si et seulement si pour tout x de I, f ′(x) = 0.
Si f''(x) est positive sur I (f a une concavité positive sur I) alors M (m; f(m)) est un minimum . exemple ; f(x )= x^2 ; f'(x) = 2 x pour x= 0 f'(0) =0 ; f''(x) =2; le point O (0;0) est un minimum de f sur R autre méthode : f(x)< 0 n'admet pas de solution .
n'existe pas car dépend du signe de ℎ. La limite ne peut pas être égale à la fois à 1 et à −1. La fonction valeur absolue n'est donc pas dérivable en 0. En observant la courbe représentative de la fonction valeur absolue, on comprend bien qu'il n'existe pas de tangente à la courbe en 0.
avec f′(a+) 6= f′(a−), f n'est pas dérivable en a. Mais f possède une dérivée à droite et une dérivée à gauche, qui sont différentes. Graphiquement, la courbe de f présente un point anguleux. Exemple : la courbe de la fonction f(x) = |x| présente en 0 un point anguleux, et cette fonction n'est pas dérivable en 0.
Une fonction est dérivable en un point si elle admet une dérivée finie en ce point. C'est ce que nous illustrerons ici. Une fonction est dérivable sur un intervalle si elle est dérivable en tout point de cet intervalle. L'ensemble des points sur lesquels une fonction est dérivable est son ensemble de dérivabilité.
Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout réel x de I. Dans ce cas, la fonction qui à tout réel x de I associe le nombre dérivé de f en x est appelée fonction dérivée de f et se note f '.
Théorème (théorème fondamental du calcul intégral) : Si f est une fonction continue et positive sur [a,b] , alors la fonction F définie sur [a,b] par F(x)=∫xaf(t)dt F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t est dérivable sur [a,b] , et a pour dérivée f .
Alors f+g et fg sont dérivables, et (f+g)′=f′+g′ ( f + g ) ′ = f ′ + g ′ (fg)′=f′g+fg′.