Comme une intégrale détermine une aire, elle ne peut pas être négative. Note : on utilise une primitive sans constante inutile : on voit bien qu'elle serait soustraite à elle-même. Notez que cette fonction est négative sur l'intervalle étudié.
Dans le cas des fonctions négatives, l'intégrale vaut bien l'aire entre la courbe et l'axe des abscisses, mais avec un signe négatif devant. Une aire reste toujours positive alors qu'une intégrale d'une fonction négative est négative.
Si la fonction est positive sur l'intervalle d'intégration, l'intégrale est positive et donc I_{n+1}-I_{n} est positif. Si la fonction est négative sur l'intervalle d'intégration, l'intégrale est négative et donc I_{n+1}-I_{n} est négatif.
Si la courbe passe au-dessus et en-dessous de l'axe des 𝑥 dans l'intervalle [ 𝑎 ; 𝑏 ] , alors son intégrale définie est la différence entre l'aire au-dessus de l'axe des 𝑥 et l'aire sous l'axe des 𝑥 , dans l'intervalle [ 𝑎 ; 𝑏 ] .
L'existence d'une intégrale peut être justifiée à l'aide de plusieurs théorèmes mathématiques tels que le théorème de convergence monotone et le théorème de convergence dominée. Ces théorèmes garantissent l'existence de l'intégrale sous certaines conditions.
Théorème : L'intégrale sur un segment d'une fonction continue de signe constant est nulle si et seulement si cette fonction est nulle.
Qu'appelle-t-on une intégrale impropre ? Si sur un certain intervalle le domaine sous la courbe de la fonction est illimité, alors l'intégrale de sur cet intervalle est dite impropre. C'est le cas si au moins l'une des bornes d'intégration est ou .
On retiendra qu'une intégrale peut être positive ou négative mais qu'une aire, elle, est toujours positive.
Propriété de positivité
En d'autre termes, l'intégrale d'une fonction positive sur un intervalle est positive, ce qui est logique dans la mesure où elle s'interprète comme une aire (voir le début du cours).
Dès qu'on dispose de l'intégrale de Lebesgue, on parle d'intégrabilité. Dans ce cadre, F:t→∫∞0sin2(x)(x+t)2dx,t∈R n'est pas "bien définie", alors que F:t→∫∞0sin2(x)(x+t)2dx,t∈R+ l'est (pour la première, il y a des problèmes de définition si t est strictement négatif ou nul).
Elle est positive entre nos deux premiers zéros et lorsqu'elle est supérieure au troisième zéro. La fonction est négative quand elle est inférieure à notre premier zéro ou entre notre deuxième zéro et notre troisième zéro.
Rappelons que le signe d'une fonction est négatif sur un intervalle si la valeur de la fonction est inférieure à 0 sur cet intervalle. Pour résoudre cette équation d'inconnue 𝑥 , on tente de l'écrire sous la forme d'un produit de deux expressions du premier degré.
Une intégrale impropre est convergente si sa valeur est finie, dans le cas contraire elle est divergente.
La différence entre primitive et intégrale est qu'une primitive est une fonction tandis qu'une intégrale est un réel exprimé comme une aire algébrique (pouvant être négatif).
Si la fonction f est impaire, sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine. L'intégrale entre a et -a est nulle car l'aire comprise entre -a et 0 aura un signe moins alors que celle entre 0 et a aura la même valeur mais avec un signe +.
Le concept d'intégrale a été raffiné depuis son introduction au XVII e siècle par Leibniz et Newton, permettant ainsi de les calculer pour des fonctions de moins en moins régulières. On rencontre ainsi aujourd'hui les intégrales dites de Riemann, de Lebesgue ou de Kurzweil-Henstock.
Grossièrement, l'intégrale de f représente l'aire entre la courbe de f et l'axe des abscisses en comptant positivement ce qui est au-dessus et négativement ce qui en-dessous de cet axe. Si ton intégrale a l'air négative c'est que l'aire en-dessous de l'axe des abscisses est plus importante que celle qui est au-dessus.
Une intégrale est une surface : somme de a à b de f(x)dx signifie tout simplement que pour tout x entre a et b, on prend autour de x une toute petite longueur dx que l'on multiplie par la valeur de la fonction f au point x.
Théorème (théorème fondamental du calcul intégral) : Si f est une fonction continue et positive sur [a,b] , alors la fonction F définie sur [a,b] par F(x)=∫xaf(t)dt F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t est dérivable sur [a,b] , et a pour dérivée f .
La convergence
Quand x tend vers +∞, le premier terme a une limite et l'intégrale ∫x1cos(t)t2dta également une limite.
Une intégrale est dite impropre lorsque une des bornes est \(\pm \infty\), ou si la fonction intégrée n'est pas continue sur l'intervalle d'intégration.
On obtient alors : I ( x ) = ∫ 0 arctan ( x ) u d u = [ u 2 2 ] 0 arctan ( x ) = 1 2 ( arctan . Quand tend vers , on a donc : lim x → + ∞ I ( x ) = π 2 8 . D'où : ∫ 0 + ∞ arctan ( t ) 1 + t 2 d t = π 2 8 .
Critères d'intégrabilité
Une fonction réglée est intégrable sur un intervalle fermé. En particulier on en déduit que les fonctions continues, continues par morceaux, monotones ou encore à variations bornées sont toutes intégrables sur un intervalle fermé.
En mathématiques, une fonction continue nulle part dérivable est une fonction numérique qui est régulière du point de vue topologique (c'est-à-dire continue) mais ne l'est pas du tout du point de vue du calcul différentiel (c'est-à-dire qu'elle n'est dérivable en aucun point).
Toute fonction en escalier est bornée car elle ne prend qu'un nombre fini de valeurs. Si f est réglée, il existe ϕ en escalier telle que, pour tout x ∈ [a, b], |f(x) − ϕ(x)| ≤ 1, et donc |f(x)|≤|ϕ(x)| + 1, ce qui prouve que f est bornée.