Une suite (un) est géométrique si et seulement si pour tout entier naturel n, un+1=a×un où a est un nombre indépendant de n. Pour démontrer qu'un suite est géométrique, on peut donc montrer qu'elle respecte bien la relation un+1=a×un.
Pour montrer qu'une suite (Vn) est géométrique, on montre qu'il existe un réel q constant tel que, pour tout entier n, V_{n + 1} = q \times V_n.
Soit (un) une suite géométrique de raison q et de premier terme u1 = a, a étant un réel non nul. On a donc un = aqn−1. Pour trouver la raison d'une suite géométrique, si l'on connaît le premier et le dernier de n termes consécutifs, il faut extraire la racine (n−1)ième du quotient du dernier terme par le premier.
Une suite auxiliaire
La suite ( v n ) définie pour tout entier naurel n, par v n = u n - ℓ est géométrique. Ainsi, pour tout entier n, v n + 1 = a × v n donc ( v n ) est une suite géométrique de raison a. ( v n ) est une suite géométrique de raison a et de premier terme v 0 = u 0 - ℓ .
Les suites géométriques satisfont une formule générale pour le calcul des termes ainsi que pour la série associée. Elles peuvent aussi servir à calculer des solutions particulières pour les relations de récurrence linéaires.
Pour montrer qu'une suite est arithmétique, il faut démontrer que u n + 1 − u n est une constante, pour tout . Pour calculer la raison d'une suite arithmétique, nous pouvons utiliser la définition par récurrence d'une suite arithmétique, u n + 1 = u n + r .
Par définition, une suite arithmétique est une suite où chacun des termes est égal à la somme du terme précédent et d'un nombre fixe. Par exemple, la suite. 3,5,7,9,... 3,5,7,9,...
Si a = 1 et b ≠ 0, on obtient une suite arithmétique de raison b. Si a ≠ 0 et b = 0, on obtient une suite géométrique de raison a.
Une suite (Un) est dite arithmétique si pour tout n entier naturel on a: Un+1=Un+ r où r est la raison de cette suite. Si on obtient une valeur constante alors la suite (Un) est une suite arithmétique. Si on obtient une valeur qui dépend de n alors la suite n'est pas une suite arithmétique.
Si la raison est nulle, chaque terme est égal au précédent : la suite est constante. Si la raison est positive, les termes de la suite ne cessent d'augmenter avec le rang : la suite est croissante. Si la raison est négative, les termes diminuent progressivement quand le rang augmente : la suite est décroissante.
On considère une suite (un) définie pour tout entier naturel n par un+1=f(un) où f est une fonction donnée. De plus, le premier terme u0 est également connu. Si l'exercice demande de calculer u1, on peut se servir de la relation un+1=f(un) en remplaçant n par 0. On obtient alors u0+1=f(u0), c'est à dire u1=f(u0).
Une suite est une succession de termes qui suivent un certain schéma. Elle peut être définie de manière récurrente ou explicite.
La somme des n premiers termes d'une suite géométrique de raison q et de premier terme a est donnée par la formule : a(1-qⁿ)/(1-q).
Pour trouver la raison d'une suite géométrique, il faut diviser un terme de la suite par le terme précédent. Nous rappelons que la raison d'une suite géométrique est le nombre qui vérifie u n + 1 = q u n , pour tout , .
▶ Si un+1 − un est positive, alors la suite (un) est croissante. ▶ Si un+1 − un est négative, alors la suite (un) est décroissante. b) Si tous les termes de la suite sont strictement positifs, alors il suffit de comparer le rapport un+1 un à 1. ▶ Si un+1 un ⩾ 1, alors la suite (un) est croissante.
Une suite bornée est donc minorée et majorée. On démontre qu'une suite est bornée grâce à la récurrence, aux opérations sur les limites, ou tout simplement en utilisant ses connaissances des fonctions usuelles. Par exemple, considérons la suite (un) définie par un=sin(n). u n = sin
Une suite (un) est géométrique de raison q si, pour tout entier naturel n, on a un+1=qun. u n + 1 = q u n . Cette expression utilise la récurrence. Elle signifie que l'on multiplie toujours un terme de la suite par le même réel pour obtenir le suivant.
Une suite numérique u est une fonction de N (ou d'une partie de N) dans R, c'est- à-dire une fonction qui à tout entier naturel n associe un réel, noté u(n) ou, plus généralement un (notation indicielle).
Une suite géométrique U de raison q et de premier terme U0 a pour terme général Un = U0 qn. On utilise les suites géométriques pour les placements à intérêts composés. Une suite arithmétique U de raison r et de premier terme U0 a pour terme général Un = U0 + nr.
En mathématiques, une suite arithmético-géométrique est une suite satisfaisant une relation de récurrence affine, généralisant ainsi les définitions des suites arithmétiques et géométriques.
Si le premier terme est égal à 5, les premiers termes successifs sont : u0 = 5, u1 = 10, u2 = 20, u3 = 40. Une telle suite est appelée une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 5. . Le nombre q est appelé raison de la suite.
Solution. Calculons u 1 u 0 et u 2 u 1 : ² ² u 1 u 0 = 1 ² + 1 / 0 ² + 1 = 2 et ² ² u 2 u 1 = 2 ² + 1 1 ² + 1 = 5 2 . Ces deux nombres sont différents donc la suite ( u n ) n'est pas géométrique.
Mathématiquement, pour tout entier naturel 𝑛, si nous divisons le terme d'indice 𝑛 plus un par le terme d'indice 𝑛, nous obtiendrons toujours la raison 𝑟. Pour chacune de nos propositions, on nous a donné quatre termes de la suite et le reste des termes peut être supposé comme suivant le même modèle.
Définition : Une suite est une « succession » de nombres réels. Ces nombres réels sont les termes de la suite. Une suite (un) associe, à tout entier n, un nombre réel noté un et appelé le terme général de la suite. La notation un est la notation indicielle, n est appelé l'indice ou le rang.
Solution : 1. (un) est bien définie si ∀n, un+1 ≥ 0, c'est `a dire si un ≥ −1. Pour tout choix de u0 ∈ [−1, +∞[, on aura alors ∀n ≥ 1,un ≥ 0 (récurrence immédiate), et donc la suite sera bien définie.