Méthode n°8 : Si A est une matrice diagonale dont tous les coefficients diagonaux sont non nuls, alors A est inversible.
Une matrice presque diagonale (on la dit alors matrice à diagonale dominante) peut être inversée sous réserve de non-intersection de ses cercles de Gershgorin.
Une matrice réelle dont toutes les colonnes sont orthogonales deux à deux est inversible si et seulement si elle n'a aucune colonne nulle. Un produit de deux matrices carrées est inversible si et seulement si les deux matrices en facteur le sont aussi.
En mathématiques et plus particulièrement en algèbre linéaire, une matrice carrée A d'ordre n est dite s'il existe une matrice B d'ordre n, appelée matrice inverse de A et notée : B = A^−1 telle que : AB = BA = In Si le déterminant d'une matrice A est non nul, alors A est inversible.
Une matrice carrée à coefficients dans K ( K = R ou K = C ) est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur K et, pour chaque valeur propre, la dimension du sous-espace propre associé est égale à son ordre de multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique.
Une matrice triangulaire à la fois inférieure et supérieure est une matrice diagonale.
1. Une matrice A est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à l'ordre de la matrice. 2. Si une matrice carrée A d'ordre n admet n valeurs propres différentes, alors A est diagonalisable.
Dans ce cas : A est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont tous non nuls, et son inverse est la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont les inverses de ceux de A .
Donc les matrices symetriques ne sont pas obligatoirement inversibles.
Une matrice nilpotente n'est pas inversible. En effet, soit M une matrice nilpotente, d'indice p. On a alors Mp = 0 et Mp−1 = 0. Supposons M inversible alors Mp−1 = M−1.Mp = 0 c'est absurde.
Une matrice A de Mn(K) M n ( K ) est dite inversible s'il existe B∈Mn(K) B ∈ M n ( K ) tel que AB=BA=In. A B = B A = I n . Une matrice B vérifiant la relation précédente est unique, elle s'appelle matrice inverse de A et se note A−1 .
En algèbre linéaire et multilinéaire, une matrice symétrique est une matrice carrée qui est égale à sa propre transposée, c'est-à-dire telle que ai,j = aj,i pour tous i et j compris entre 1 et n, où les ai,j sont les coefficients de la matrice et n est son ordre.
Locution nominale. (Algèbre linéaire) Matrice diagonale (et donc carrée) dont les coefficients diagonaux sont tous égaux, et donc multiple de la matrice unité de même dimension par un scalaire.
Si une matrice est diagonale ou triangulaire, alors les valeurs propres sont les éléments diagonaux de la matrice. Il s'agit d'une matrice triangulaire, donc les valeurs propres sont 4 et 3. Si une matrice A a autant de valeurs propres que la dimension de l'espace, alors A est diagonalisable.
On se place dans un ev E quelconque et f un endomorphisme. on doit montrer que : si il existe un unique endomorphisme g tel que fog=id alors f est inversible.
La notion de matrices inverses ne concerne que les matrices carrées. Avec les notations de la définition, la matrice B inverse est unique. Soit C une matrice carrée d'ordre n vérifiant aussi la double égalité AC = CA = In.
la matrice de passage de b à b' est nécessairement inversible puisque c'est par définition la matrice de l'identité (une bijection!) dans les base b' et b.
Deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent un même endomorphisme dans deux bases prises simultanément comme base de départ et d'arrivée. Des matrices semblables sont équivalentes.
Si A est un anneau, on dit qu'un élément a de A est inversible s'il existe b de A tel que ab=ba=1 a b = b a = 1 . Un tel élément b est alors unique et est appelé inverse de a . L'ensemble des éléments inversibles de A forme un groupe, appelé groupe des éléments inversibles (ou groupe des unités) de A .
On résout ( S ) par la méthode du pivot de Gauss. On a donc pour toutes matrices X et Y de M 3 , 1 ( R ) l'équivalence A X = Y ⇔ X = A ′ Y . On a donc pour toute matrice Y de M 3 , 1 ( R ) , Y = A A ′ Y on en déduit A A ′ = I 3 . De même pour toute matrice X de M 3 , 1 ( R ) , X = A ′ A X et donc A ′ A = I 3 .
Une matrice est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé dans K[X]. En particulier, si K est algébriquement clos, toute matrice carrée à coefficients dans K est trigonalisable et donc aussi tout endomorphisme d'un K-espace vectoriel de dimension finie.
La diagonalisation de matrices sert surtout en physique (via le théorème spectral) pour déterminer certaines caractèristiques invariantes de systèmes. (Comme en mathématique on détermine les vecteurs invariants à un facteur près sous une une application linéaire, appelés vecteurs propres).
La matrice A est diagonalisable sur R si le polynôme PA admet deux racines distinctes dans R. En effet, si PA admet une racine double r et A diagonalisable, alors l'endomorphisme de matrice A est égal à rIdE, ce qui n'est pas le cas.
Méthode n°7 : Soit A une matrice carrée telle que : A = : A est inversible si et seulement si ad-bc ≠ 0. Méthode n°8 : Si A est une matrice diagonale dont tous les coefficients diagonaux sont non nuls, alors A est inversible.
(Géométrie) Ligne qui passe par deux sommets non consécutifs d'un polygone. Dans un quadrilatère, une diagonale passe par deux sommets opposés.