Comme p/q = √2 donne p2 = 2q2, on en déduit que p est pair puisque son carré l'est (et q est impair) ; p étant pair, on pose p = 2r d'où (2r)2 = 2q2 d'où 4r2 = 2q2 d'où q2 = 2r2 d'où il suit que q serait pair, ce qui contredit soit le fait que q a été signalé impair précédemment, soit que p et q ne sont pas pairs ...
Ils sont donc tous les deux divisibles par 2 et ne sont donc pas premiers entre eux (car ils ont un diviseur commun différent de 1 et −1). Ceci est une contradiction (étape n°2). Ainsi, √2 ne peut pas être un nombre rationnel ; c'est donc un nombre irrationnel.
La réponse est non : Théorème. — La racine carrée de 2 n'est pas un nombre rationnel.
On peut remarquer que √0=0, √1=1, √4=2, √9=3, √16=4, …
√2 vaut approximativement 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737. Pour plus de décimales, voir la suite A002193 de l'OEIS. Le calcul d'une valeur approchée de √2 a été un problème mathématique pendant des siècles.
Elle fait partie de l'ensemble des nombres imaginaires. Ainsi le nombre i est défini comme suit : i est un nombre dont le carré est -1, algébriquement : i2 = -1.
La racine carrée de 2 est l'unique nombre positif dont le carré vaut 2. Il est noté √2, car √ est le symbole de la racine carrée. Contrairement à d'autres nombres comme 0 ou 2,49, √2 ne peut pas s'écrire comme une fraction (on dit qu'il est irrationnel) : il a un nombre infini de chiffres après la virgule.
Ensemble des nombres rationnels
Un nombre est rationnel s'il peut s'écrire sous la forme d'un quotient de deux entiers. L'ensemble des nombres rationnels se note Q. Inversement, un nombre est irrationnel lorsqu'il n'est pas rationnel, c'est à dire qu'il ne peut s'écrire sous forme de fraction.
La racine carrée de cinq, notée √5 ou 51/2, est un nombre réel remarquable en mathématiques et valant approximativement 2,236. C'est un irrationnel quadratique et un entier quadratique.
La racine carrée de 7 est 2.64575131106.
La racine carrée de trois, notée √3 ou 31/2, est en mathématiques le nombre réel positif dont le carré est 3 exactement. Il vaut approximativement 1,732.
Il n'existe pas de rationnel positif dont le carré est 2, la racine carrée de 2 est irrationnelle. Supposons qu'il existe un élément x = p/q de + ( ensemble des rationnels positifs ) tel que x² = 2, avec p et q premiers entre eux ( c'est à dire que p/q est une fraction irréductible ) .
En fait, en construisant le triangle ABC avec la médiatrice, le point B est bien sur la médiatrice, et il faut utiliser la longueur CB (l'hypoténuse) qui correspond à racine de 2. Tu n'as plus qu'à reporter cette racine sur ta droite...
La transcendance de Π provient directement du théorème de Hermite-Lindemann. En effet : Sup- posons que Π soit algébrique, alors iΠ l'est également, donc eiΠ = −1, est transcendant, ce qui est absurde. Donc Π est transcendant.
Corollaire — La racine n-ième d'un entier N > 0 est irrationnelle, sauf si N est la puissance n-ième d'un entier.
Le nombre -7 est un nombre entier qui peut être écrit sous la forme ab comme étant -71 . Ce nombre est donc aussi un nombre rationnel.
En tant que nombre, zéro est un objet mathématique permettant d'exprimer une absence comme une quantité nulle : c'est le nombre d'éléments de l'ensemble vide. Il est le plus petit des entiers positifs ou nuls.
On suppose que √2 est un nombre décimal. Alors le dernier chiffre non nul de son écriture décimale est 1,2,3,4,5,6,7,8 ou 9. En conclusion, la supposition initiale est fausse. Donc √2 n'est pas un nombre décimal.
Par exemple, la racine carrée de 9 est 3 parce que 3 × 3 = 9. On note formellement : √9 = 3.
4 au carré est égal à 16.
Le carré d'un nombre identifié par 2 est une fonction mathématique qui a comme résultat la multiplication du nombre par lui-même. Par exemple si A est un nombre, son carré noté A2 est égale à A * A. On peut simplifié avec l'opération A2 = A * A.