Pour a et b deux nombres entiers (avec b différent de 0), effectuer la division euclidienne de a par b revient à trouver deux nombres entiers q et r qui vérifient l'égalité a = b × q + r a = b \times q + r a=b×q+r et que r < b r < b r<b.
La division euclidienne est un outil de base de l'arithmétique. Elle permet de déterminer le PGCD de deux nombres en utilisant l'algorithme d'Euclide. Elle est également utilisée pour écrire un entier en base b.
q est le quotient ; r est le reste. Dans une division euclidienne, a, b, q et r sont des nombres entiers et on a : a = b × q + r avec r < b. On a : 17 = 3 × 5 + 2 et 2 < 3.
Exemple : Trouver le quotient euclidien et le reste dans la division euclidienne de 3618 par 278. On encadre 3618 par deux multiples successifs de 278 : 13 x 278 < 3618 < 14 x 278 donc le quotient euclidien est 13. On calcule la différence : 3618 - 13 x 278 = 4. Le reste est 4.
I.La division Euclidienne :
Une division définit une situation de partage. La quantité à partager est appelée dividende et le nombre de parts le diviseur. La quantité par part est appelé le quotient. La division est euclidienne lorsque le dividende, le diviseur et le quotient sont entiers.
La différence entre la division « ordinaire » et la division euclidienne est que la division euclidienne s'effectue qu'entre nombres entiers. De plus, la division euclidienne nous fournit un quotient et un reste alors qu'une division ordinaire ne donne qu'un quotient.
Pour a et b deux nombres entiers (avec b différent de 0), effectuer la division euclidienne de a par b revient à trouver deux nombres entiers q et r qui vérifient l'égalité a = b × q + r a = b \times q + r a=b×q+r et que r < b r < b r<b.
Sous le diviseur, on inscrit le quotient. Pour vérifier le résultat d'une division, il faut multiplier le quotient par le diviseur. On doit ainsi retrouver le dividende.
b) 66 = 12×5+6 = 12×5+5+1 = 13×5+1 le quotient de 66 par 5 est 13 (le reste est bien inférieur au diviseur : 1 < 5).
On peut donc définir la division x = a/b pour tout ensemble muni d'une multiplication, comme étant la solution de l'équation.
La division euclidienne est une opération mathématique qui permet de déterminer combien de fois il faut multiplier un chiffre x pour obtenir un chiffre y. Dans le cadre d'une division euclidienne, le résultat est un nombre entier.
Dans une division euclidienne, le diviseur est 7 et le quotient est 18. Trouve tous les dividendes possibles. 7 × 18 =126 et les restes possibles sont : 0, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.
La division euclidienne de n par 4 s'écrit : n = 4k + r avec 0 ≤ r < 4 (k et r entiers naturels) Si n est impair les seuls restes possibles sont r = 1 ou r = 3 (car pour r = 0 ou r = 2, n est pair) Si n est un entier naturel impair, alors d'après la question précédente, on a : n = 4k + 1 ou n = 4k + 3 1er cas : n = 4k ...
On peut utiliser la division pour faire un partage équitable. Par exemple, cinq enfants se partagent vingt bonbons. On divise les vingt bonbons par cinq : 20:5=4, chaque enfant reçoit 4 bonbons.
Le dividende est le chiffre qui va être divisé. Le diviseur est, comme son nom l'indique, celui qui va servir à diviser. Par exemple, dans la division suivante : 40 /5, 40 est le dividende et 5 le diviseur. On obtient ensuite le résultat de la division : le chiffre obtenu est le quotient.
Un nombre A est le multiple d'un nombre B s'il est présent dans la table de multiplication de B, c'est-à-dire si on peut obtenir A en multipliant B par un nombre entier. Un nombre B est un diviseur du nombre A si lorsqu'on divise A par B, on obtient un nombre entier sans qu'il n'y ait de reste.
Multipliez le chiffre le plus récent du quotient (9) par le diviseur 3 . Soustrayez 27 de 28 . Le résultat de la division de 283 est 9 avec un reste de 1 .
a] Dans 120, le nombre 16 rentre 7 fois et il reste 8.
Dans cette division euclidienne, le quotient est 7 et il reste 8.
Euclide à inventé la division euclidienne, vous savez la division avec un dividende, un diviseur, un quotient et parfois un reste. Il a aussi inventé, avec une corde, un bâton et un crayon, la géométrie euclidienne ou géométrie plane, qui s'utilise au quotidien.
Placez ce chiffre dans le quotient au-dessus du symbole de division. Multipliez le chiffre le plus récent du quotient (6) par le diviseur 5 . Soustrayez 30 de 32 . Le résultat de la division de 325 est 6 avec un reste de 2 .
LA DIVISION EUCLIDIENNE DE 148 PAR 7 EST : 148 = 6 x 21 + 22. 148 = 7 x 20 + 8.
Le reste est le dernier chiffre du nombre à diviser si ce chiffre varie de 0 à 4. Lorsque le dernier chiffre est supérieur à 5, le reste est le chiffre auquel on soustrait 5. Le reste de 896 ¸ 5 est 1. On fait 6 - 5 = 1.
Il existe un unique couple (q ; r) tel que a = bq + r et r < |b| . On dit que le couple unique ( q ; r ) est le résultat de la division euclidienne de a par b. Le nombre a est le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste. Exemple : La division euclidienne de – 514 par 35 s'écrit : – 514 = 35 × (–15) + 11.
En mathématiques, l'égalité est une relation binaire entre deux objets signifiant que ces objets sont identiques, c'est-à-dire que le remplacement de l'un par l'autre dans une expression ne change jamais la valeur de cette dernière.
Trouver les diviseurs d'un nombre
La technique pour trouver des diviseurs repose sur une propriété mathématique: Si la division de A par B est égale à C, alors B et C sont des diviseurs de A (A, B et C sont des nombres entiers). La division de 28 par 7 est égale à 4, donc 7 et 4 sont des diviseurs de 28.