Une astuce assez courante consiste à multiplier numérateur et dénominateur par a − i b : 1 z = ( a − i b ) ( a + i b ) ( a − i b ) . Or ( a + i b ) ( a − i b ) = a 2 − i 2 b 2 = a 2 + b 2 ce qui donne le résultat.
Deux nombres sont inverses lorsque leur produit est égal à 1.
L'écriture x+iy x + i y , où x∈R et y∈R x ∈ R et y ∈ R , d'un nombre complexe z est appelée la forme algébrique du nombre complexe z .
Comment calculer le conjugué d'un nombre complexe ? A partir de la forme algébrique d'un nombre complexe z=a+ib z = a + i b , le conjugué se calcule ¯¯¯z=a−ib z ¯ = a − i b .
Si le nombre complexe est sous la forme d'un quotient de deux nombres complexes dont le dénominateur n'est pas un réel, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Ainsi, si z = \dfrac{a+ib}{c+id}, on multiplie le numérateur et le dénominateur par \overline{c+id}= c-id.
Définition : Soit z = a + b i ( où a et b sont deux nombres réels non nuls tous deux ) un nombre complexe non nul sous la forme algébrique , on appelle argument du nombre complexe z , le nombre réel défini par : où | z | est le module du nombre complexe z .
Lorsqu'un nombre complexe est écrit sous la forme a+bi a + b i , où a,b∈R a , b ∈ R , on appelle a la partie réelle et b la partie imaginaire. (Notons que i n'est pas inclus dans la partie imaginaire.)
La lettre Ƶ (minuscule : ƶ), appelée Z barré, est un graphème latin de l'alphabet turcique uniforme, et était un graphème de l'Alphabet nordique unifié utilisé dans plusieurs langues du nord de la Russie dans les années 1930, du yanalif utilisé en tatar. Il s'agit de la lettre Z diacritée d'une barre inscrite.
En mathématiques, la quantité conjuguée est une expression obtenue à partir de la somme ou de la différence de termes comportant des racines carrées en changeant la somme en différence ou vice-versa.
Tout élément z de s'écrit de manière unique : z = a + ib (a et b réels), donc si z = a + ib et z' = a' + ib', z = z' ⇔ a = a' et b = b'. a + ib (a et b réels) s'appelle la forme algébrique du nombre complexe z. Le réel a s'appelle la partie réelle de z, notée Re(z).
Passer de la forme algébrique aux formes trigonométrique et exponentielle. Afin de déterminer une forme exponentielle ou une forme trigonométrique d'un nombre complexe écrit sous sa forme algébrique z=a+ib, on doit calculer le module et un argument de z.
Afin de calculer le module ∣z∣ et un argument θ d'un nombre complexe z, on détermine sa forme algébrique z = a+ib.
La forme = a + jb pour le couple (a, b ) est appelée forme cartésienne. La notation « j », au lieu de « i » comme en mathématiques, est spécifique à l'électricité pour éviter la confusion avec le courant.
Pour obtenir l'opposé d'un nombre, il suffit donc de changer le signe de ce dernier. Par exemple l'opposé du nombre 3 est égal à -3. Inversement, l'opposé de -3 est égal à 3.
des entiers relatifs, seuls 1 et –1 ont un inverse : eux-mêmes respectivement. des rationnels, l'inverse de 2 est 1⁄ 2 = 0,5 et l'inverse de 4 est 0,25.
L'opposé de l'inverse de 3/4 est . 8.
L'exponentielle complexe est une fonction qui prolonge la fonction exponentielle réelle de base e à la variable complexe et possède les mêmes propriétés essentielles que cette dernière. est convergente. Sa somme est l'exponentielle de z, notée ez ou exp(z).
Pour faire disparaitre une racine carrée d'un dénominateur, il suffit de multiplier la fraction au numérateur et dénominateur par cette même racine carrée.
Unicode : U+01B5.
Un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles. ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.
Le premier à présenter un article sur l'interprétation géométrique des nombres complexes est Caspar Wessel (1745‑1818) en 1797. Quelques années plus tard, c'est Jean‑Robert Argand (1768‑1822) qui interprète l'ensemble des nombres complexes comme une extension à deux dimensions des nombres réels.
Leonhard Euler fait l'inventaire de tous les calculs réalisables avec les nombres complexes. Il est à l'origine de la notation i (1777).
On appelle argument d'un nombre complexe non nul z une mesure θ de l'angle orienté ( u → , OM → ) . C'est un nombre réel défini modulo 2 π et noté arg ( z ) . On a donc : z = ∣ z ∣ . ( cos ( θ ) + i sin ( θ ) ) .