1. Pour trouver le nombre de diviseurs de tout nombre, on décompose le nombre donné en facteurs premiers ; puis on fait le produit du nombre de diviseurs de chaque facteur. Par exemple, 180 a 18 diviseurs.
Un diviseur est un nombre par lequel on peut diviser un autre nombre et obtenir comme résultat un nombre entier.
Un nombre B est un diviseur du nombre A si lorsqu'on divise A par B, on obtient un nombre entier sans qu'il n'y ait de reste. Si A est un multiple de B, alors B est un diviseur de A. 48 est un multiple de 6 car on peut trouver 48 en multipliant 6 par un nombre entier : 6 × 8 = 48.
Il s'agit tout d'abord de reconnaître et de trouver des multiples. Le multiple d'un nombre est le produit de ce nombre avec un nombre entier. Par exemple : 6×8=48 donc 48 est un multiple de 6 et de 8. Si 48 est un multiple de 6 et de 8 alors 6 et 8 sont des diviseurs de 48.
1. Les diviseurs de 90 sont : 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90. Les diviseurs de 126 sont : 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 63, 126.
Diviseurs de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 et leurs opposés. Diviseurs de 60 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 et leurs opposés. Diviseurs communs de 24 et 60 : 1, 2, 3, 4, 6, 12 et leurs opposés.
Les diviseurs de 27 sont : 1, 3, 9, 27.
Divisible par 2 Tous les nombres terminés par 0, 2, 4, 6 ou 8 sont divisibles par 2. Tous les nombres dont le dernier chiffre est divisible par 2, est divisible par 2. Divisible par 3 Si la somme des chiffres est divisible par 3, le nombre est divisible par 3.
Pour deux nombres entiers n et d non nuls, d est un diviseur de n signifie qu'il existe un nombre entier q tel que n = q × d . On dit aussi que n est divisible par d ou que n est n est un multiple de d. Remarques : Si d est un diviseur de n alors le reste de la division euclidienne de n par d est égal à zéro.
0 est un diviseur de zéro. Les diviseurs de zéro sont les éléments non réguliers.
Exemples et contre-exemple : a) 15 est un multiple de 3, car 15 = k × 3 avec k = 5. b) 10 est un diviseur de 40, car 40 = k × 10 avec k = 4. c) Par contre, 13 n'est pas un multiple de 3 car il n'existe pas d'entier k tel que 13 = k × 3. Propriété : La somme de deux multiples d'un entier a est un multiple de a.
Cette méthode consiste à diviser simultanément les nombres étudiés par des diviseurs premiers. Le PGCD sera alors le produit de ces diviseurs premiers. Cette méthode est plus rapide et efficace lorsque l'on cherche le PGCD entre deux grands nombres.
Exemple Les diviseurs de 48 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 16 ; 24 ; 48 .
Les diviseurs de 72 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 et 72. Les diviseurs de 54 sont : 1, 2, 3, 6, 9, 18 et 27.
Le plus grand commun diviseur de 18 et 24 est 6. L'algorithme d'Euclide permet de calculer le plus grand commun diviseur de deux entiers naturels donnés.
Les diviseurs communs à deux nombres
Soient a, b et d trois entiers. Le nombre d est un diviseur commun à a et à b s'il est un diviseur de a et de b. On recherche les diviseurs communs à 12 et 30. Les diviseurs communs à 12 et 30 sont donc les nombres : 1, 2, 3 et 6.
Donc les diviseurs communs de 56 et 90 sont 1 et 2 et PGCD (56 ; 90) = 2. ➋ 64 et 123 D'après l'exercice n°2 : • Les diviseurs de 64 sont 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 et 64. Les diviseurs de 123 sont 1 ; 3 ; 41 et 123. Donc les nombres 64 et 123 ont un seul diviseur commun 1 et PGCD (64 ; 123) = 1.
2. Les diviseurs premiers de 588 sont donc : 2 ; 3 et 7. 6.