Si F possède un plus grand élément (en particulier si F est une partie finie d'un ensemble E totalement ordonné comme ℝ), alors cet élément maximum est la borne supérieure de F. Dans ce cas, sup(F) appartient à F. Réciproquement, si sup(F) existe et appartient à F, alors sup(F) est le plus grand élément de F.
Pour montrer l'inégalité sup(A) ≤ inf(B), commençons par montrer que sup(A) est un minorant de B. Il s'agit donc de montrer que, pour tout y ∈ B, sup(A) ≤ y. Soit y ∈ B quelconque. Comme on l'a vu quelques lignes plus haut, y est un majorant de A.
- max(A) est le plus grand élément de A, i.e. un élément de A tel que tous les autres soient plus petits. Il n'existe pas nécessairement mais s'il existe il est unique. - sup(A) est le (un) plus petit élément de E qui soit plus grand que tous les éléments de A.
On remarque que 2, majorant de , appartient à . b. Soit B = { x ∈ R , x = l n ( 1 + n ) , n ∈ N } ; -10, 0 sont des minorants de ; est une partie minorée de mais n'est pas majorée (il existe des éléments de arbitrairement grands). On remarque que 0 est un minorant de qui appartient à .
Notation On va noter P∗(N) l'ensemble des parties non vides de N. Toute partie non-vide de N admet un minimum. ∀P : P(N), si P est non vide alors ∃m : N,m ∈ P et ∀p : P,m ≤ p. On montre par récurrence sur n que si P ∩ [0..n] est non vide, alors P admet un élément plus petit que tous les autres.
Ainsi, des mathématiciens comme Frege, Russell ou Von Neuman ont construit l'ensemble des entiers naturels, et toute l'arithmétique qui leur est jointe, uniquement à partir de l'ensemble vide. Voici comment : 0 est identifié à l'ensemble vide. 1 est identifié à l'ensemble dont le seul élément est l'ensemble vide.
Ensemble vide
On le représente par le symbole « Ø » ou par deux accolades vides « { } ». Dans le diagramme de Venn ci-dessous, l'ensemble A est un ensemble vide (A = Ø) puisqu'il ne contient aucun élément.
Si F possède un plus grand élément (en particulier si F est une partie finie d'un ensemble E totalement ordonné comme ℝ), alors cet élément maximum est la borne supérieure de F. Dans ce cas, sup(F) appartient à F. Réciproquement, si sup(F) existe et appartient à F, alors sup(F) est le plus grand élément de F.
Soit u une suite numérique. On dit que la suite u est majorée lorsqu'il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n, un ≤ M. Le nombre M est alors appelé un majorant de la suite u. On dit que la suite u est minorée lorsqu'il existe un réel m tel que pour tout entier naturel n, un ≥ m.
un maximum est un majorant atteint par la fonction/partie. le maximum n'existe pas toujours (par exemple, la partie ]0,1[ n'a pas de maximum), mais quand il existe il coincide avec la borne supérieur. et donc "la borne sup est atteinte" est équivalent à "le maximum existe".
Si l'ensemble des majorants d'une partie A de R admet un plus petit élément M on dit que M est la borne supérieure de A et on note M = sup(A). Cette borne est alors unique. Si l'ensemble des minorants d'une partie A de R admet un plus grand élément m, on dit que m est la borne inférieure de A et on note m = inf(A).
Proposition Si M est un majorant de f et N un majorant de g, alors M + N est un majorant de f + g. Si M est un majorant de f et N un majorant de g, avec f et g positives, alors MN est un majorant de fg. . Si M est un majorant de f , alors −M est un minorant de −f .
Terme utilisé pour désigner un plus petit ou un plus grand objet d'un ensemble de nombres ou d'une figure géométrique. Une borne peut appartenir ou ne pas appartenir à l'ensemble concerné. Les bornes d'un intervalle sont les limites de cet intervalle. La borne d'une figure est la frontière de cette figure.
(Mathématiques) Plus grand minorant. Note : Pour un ensemble X de réels, l'infimum, s'il existe, est le plus grand réel inférieur ou égal à tous les réels de X. L'existence d'un infimum pour les parties bornées inférieurement est toujours vérifiée, et découle de la définition mathématique des nombres réels.
Une partie d'un ensemble ordonné est bornée si elle admet à la fois un majorant et un minorant dans l'ensemble ordonné. En dehors du cas où la partie elle-même contient un majorant et un minorant, cette définition dépend donc a priori du reste de l'ensemble ordonné.
Au fait pour montrer qu'un ensemble n'est pas borné, on peut comme le dit Bisam trouver une suite de points dont la norme tend vers l'infini, ou alors montrer qu'il contient un ensemble non borné. Pour tes deux exemples on trouve facilement des droites qu'ls contiennent, et on sait qu'une droite n'est pas bornée.
A partir de la relation ≤, on définit la relation : ≥ par x ≥ y si, et seulement si, y ≤ x. La relation x ≤ y se dit x est inférieur ou égal `a y. La relation x ≥ y se dit x est supérieur ou égal `a y. Si x ≤ y, on dit que x minore y ou que y majore x.
Une suite (un) est minorée s'il existe un nombre m tel que, pour tout entier naturel n, u n ≥ m u_n \geq m un≥m. m est appelé le minorant de (un).
Fonctions minorées
On dit qu'une fonction numérique (f,D) est 'minorée sur D' sur l'ensemble f(D) est minoré, autrement dit s'il existe un réel m tel que f(x)≥m ∀x∈D. Illustration: Il résulte de cette définition que: Si f est minorée sur D, alors l'ensemble f(D) possède une borne inférieure.
Soit f : I → R une fonction continue. Alors – f est bornée : il existe M ≥ 0 tel que pour tout x ∈ I, |f(x)| ≤ M ; – f atteint ses bornes : il existe c1, c2 ∈ I tel que f(c1) = min{f(x) | x ∈ I}, f(c2) = max{f(x) | x ∈ I}.
DEFINITION: Soit E un ensemble non vide, ordonné. E est dit minoré, s'il existe un élément m tel que tout élément x de E soit supérieur ou égal à m. E est dit majoré s'il existe un élément M tel que tout élément x de E soit inférieur ou égal à M.
D'apr`es le cours, un ensemble qui admet un plus petit élément admet également une borne inférieure et, dans ce cas, la borne inférieure est égale au plus petit élément. Comme B admet 1 pour plus petit élément, B admet également une borne inférieure et celle-ci est aussi 1. B n'est pas majoré.
Les nombres réels, représentés par R , sont tous les nombres qui appartiennent à l'ensemble des nombres rationnels ou à l'ensemble des nombres irrationnels. L'ensemble des nombres réels correspond à l'union des ensembles rationnels (Q) et irrationnels (Q′) .
Le signe m, un symbole proche du futur ∞, y désigne l'infini. Sans doute Wallis a-t-il aussi pensé que la boucle que représente le symbole ∞ faisait penser à l'infini ,puisqu'elle peut être parcourue sans fin. L'apparition du symbole ∞ contribua en tout cas fortement à la modernisation en marche des mathématiques.
Ø représente, dans l'alphabet phonétique international, un « eu » très fermé. Comme dans jeu : on prononce /ʒø/. Ne pas confondre avec /ə/ comme dans cheval (phonologiquement : /ʃə. val/, mais pouvant être réalisé phonétiquement comme ø, ə ou œ) ni avec /œ/ comme dans œuf (on prononce /œf/).