Méthode : Pour trouver une solution particulière de y +a(x)y = δ(x), on peut chercher sous la forme x ↦→ C(x)h(x) où h est solution de l'équation homogène. Lorsqu'on a le choix, il est conseillé de préférer les autres méthodes, qui donnent souvent des calculs moins lourds.
On appelle solution particulière de l'équation différentielle a(x)y′(x) + b(x)y(x) = c(x) toute fonction y vérifiant cette équation.
Pour rechercher une solution particulière, on utilise souvent la méthode de variation de la constante : on cherche une solution sous la forme λ(x)e−A(x) λ ( x ) e − A ( x ) où λ:I→R λ : I → R est une fonction dérivable et on regarde quelle condition doit vérifier λ pour que cette fonction soit une solution de l' ...
L'ensemble des solutions de l'équation différentielle y/ +y = 1 est {t ↦→ ke-t +1,k ∈ R}. Si de plus, on cherche y telle que y(0) = 0, alors l'unique solution de l'équation est t ↦→ 1 − e-t. 1. en admettant que y ne s'annule pas et que y ne change pas de signe. . .
Les solutions de l'équation homogène associée sont A e-x + B e2x. Comme 2 est racine simple du polynome r2 - r - 2, on cherche une solution sous la forme y = (ax + b) e2x. Puisque - b e2x est solution de l'équation homogène, on peut même chercher la solution particulière sous la forme ax e2x.
Le nombre de solutions possibles pour un système d'équations linéaires. Lors de la résolution de système d'équations linéaires, il faut trouver un couple (x,y) qui permet de vérifier toutes les équations du système. Ainsi, le couple trouvé correspond aux coordonnées du point de rencontre des deux droites.
. La somme s = s1 + s2 de ces deux solutions particulières est solution particulière de l'équation de départ. Ce principe se généralise facilement au cas où d est la somme de plus de deux fonctions.
Une équation différentielle est une équation qui établit un lien entre une fonction et une ou plusieurs de ses dérivées. Ce qui veut dire que la solution d'une équation différentielle est une fonction !
Équation non linéaire,
équation de la forme f (x) = 0 lorsque f (x) n'est pas de la forme ax + b.
les équations différentielles ordinaires (EDO) où la ou les fonctions inconnues ne dépendent que d'une seule variable ; les équations différentielles partielles, plutôt appelées équations aux dérivées partielles (EDP), où la ou les fonctions inconnues peuvent dépendre de plusieurs variables indépendantes.
z ′ = ( 2 a ( t ) y 0 ( t ) + b ( t ) ) z + a ( t ) z 2 . On obtient donc une équation de Bernoulli, que l'on sait résoudre. Il s'agit des équations différentielles du type y=a(y′)t+b(y′). y = a ( y ′ ) t + b ( y ′ ) .
On les résout par le changement de fonction inconnue z=y1−β. z = y 1 − β . Il s'agit d'équations différentielles de Bernoulli, c'est-à-dire d'équations de la forme y′+p(x)y=q(x)yβ. y ′ + p ( x ) y = q ( x ) y β .
Définition : Une équation différentielle est une équation où l'inconnue est une fonction, et qui se présente sous la forme d'une relation entre cette fonction et ses dérivées. Ex : y^'+ay=0 avec a réel est une équation différentielle. f est une solution de l'équation différentielle.
Soient deux fonctions u et v, alors (uv)' = u'v +v'u. Or f est solution de l'équation différentielle y' = ay, on a donc f '(x) = a f(x). La fonction g est de dérivée nulle, c'est donc une fonction constante. Ainsi g(x) = e–ax f (x) = C, avec , d'où f(x) = Ceax.
b) Equation avec second membre : Considérons l'équation ay" + by' + cy = d(x). Soit y0 solution de cette équation. On remarque alors que, comme dans le cas des équations du premier ordre : Page 9 - 9 - i) si z est solution de l'équation homogène associée, alors y0 + z est solution de l'équation complète.
C'est une équation différentielle du second ordre car elle fait intervenir la dérivée seconde de y. C'est une équation linéaire, c'est-`a-dire que, si y1 et y2 sont solutions de l'équation u(y) = f(x), alors u(y1 − y2)=0. On est ainsi amené `a résoudre l'équation sans second membre u(y)=0.
La règle, est donc la suivante : quand un terme est additionné ou soustrait d'un côté d'une équation, on peut le faire passer de l'autre côté en changeant son signe. Autrement dit, en passant de l'autre côté du signe =, les additions se transforment en soustraction et inversement.
Appellé «le dernier théorème de Fermat», cette équation avait été posé en 1637 par le mathématicien français Pierre Fermat. Il l'avait formulée ainsi : «il n'existe pas de nombres entiers non nuls x, y et z tels que : xn + yn = zn, dès que n est un entier strictement supérieur à 2».
Définition : Une équation du second degré est une équation de la forme ax2 + bx + c = 0 où a, b et c sont des réels avec a ≠ 0. Une solution de cette équation s'appelle une racine du trinôme ax2 + bx + c . Exemple : L'équation 3x2 − 6x − 2 = 0 est une équation du second degré.
Résoudre une équation d'inconnue x, c'est déterminer toutes les valeurs de x (si elles existent) pour lesquelles l'égalité est vraie. Chacune de ces valeurs est appelée une solution de l'équation.
Résoudre un système de trois équations d'inconnues x, y et z revient à chercher tous les triplets (x ; y ; z) qui vérifient ces trois équations. Un tel triplet de valeurs (x ; y ; z) est appelé « solution du système d'équations ».
Une équation linéaire à une inconnue x est une équation de la forme ax + b = 0 où a et b sont des réels (ou des complexes). Les réels a et b sont appelés des coefficients, a est le coefficient devant x et b le coefficient constant. On appelle aussi cette équation, une équation du premier degré à une inconnue.
L'intégration permet de résoudre les équations différentielles : y′ = f(t). On appelle équation différentielle `a variables séparables une équation qui peut se mettre sous la forme : y′ = g(t)h(y) . Ici on va supposer que g est continue sur l'intervalle I, et h est continue sur l'intervalle J.