Tracer la fonction dérivée : saisir : Dérivée[f]. Dans la fenêtre de gauche, s'affiche alors l'expression de la fonction dérivée.
Soit f une fonction affine définie sur par : f(x) = ax + b où a et b sont deux réels avec a ≠ 0. Alors sa dérivée est la fonction f′ définie sur par : f′(x) = a. f est de la forme u + v avec u(x) = ax et v(x) = b. Alors f′(x) = u′(x) + v′(x) = a × 1 + 0 = a.
On dit qu'une fonction est dérivable en 𝑥 = 𝑥 si ces limites existent. Si seule la limite à gauche ou à droite existe, alors on dit que la fonction est dérivable en 𝑥 = 𝑥 à gauche ou à droite respectivement.
On rappelle que d'après la règle du produit, la dérivée du produit de deux fonctions dérivables est donnée par ( 𝑢 ( 𝑥 ) 𝑣 ( 𝑥 ) ) ′ = 𝑢 ′ ( 𝑥 ) 𝑣 ( 𝑥 ) + 𝑢 ( 𝑥 ) 𝑣 ′ ( 𝑥 ) . Ainsi, si 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 et 𝑔 ( 𝑥 ) = 𝑥 − 2 , alors 𝑣 ( 𝑥 ) = 𝑓 ( 𝑔 ( 𝑥 ) ) .
Lorsqu'une fonction n'est pas linéaire, sa pente peut varier d'un point à l'autre. Il nous faut donc introduire la notion de dérivée qui permet d'obtenir la pente en tout point de ces fonctions non linéaires.
On peut déterminer graphiquement la valeur de la dérivée d'une fonction f en un réel a, en utilisant la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a. On considère la fonction f, dont la courbe représentative C_f est donnée ci-dessous. T_0 est la tangente à C_f au point d'abscisse 0.
4) Dérivée du produit de deux fonctions
La dérivée d'un produit est donnée par la formule suivante : $(uv)' = uv' + u'v$. La fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ est définie sur $\mathbb{R}_+$ et dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$. Ainsi, $f$ est définie sur $\mathbb{R}_+$ et dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$.
Parfois, la fonction est définie par prolongement par continuité en ce point. Pour justifier de la dérivabilité en ce point, on revient alors à la définition, en calculant le taux d'accroissement et en vérifiant s'il admet une limite, ou alors, si on connait, on applique le théorème de prolongement d'une dérivée.
On dit que f est dérivable en a si le taux d'accroissement de f en a admet pour limite un nombre réel lorsque h tend vers zéro. Ce nombre, noté f ′ ( a ) f'(a) f′(a) est appelé nombre dérivé de f en a.
Sa dérivée est toujours positive (ou nulle pour x = 0).
Théorème : Dérivée de la fonction logarithme népérien
La dérivée du logarithme népérien 𝑦 = 𝑥 l n par rapport à 𝑥 est donnée par d d l n 𝑥 𝑥 = 1 𝑥 , 𝑥 > 0 . On peut aussi dériver des fonctions plus complexes, ou l'argument du logarithme est, lui-même, une fonction de 𝑥 .
On appelle fonction dérivée de f, notée f ', la fonction définie sur ℝ par f '(x) = 2ax +b.
Exemple d'utilisation : pour définie sur , sa fonction dérivée est car la dérivée de x2 est 2x (comme on a 3x2, on multiplie 2x par 3) et la dérivée de x est 1 (que l'on multiplie par -2).
Théorème : Soit I un intervalle de R et f:I→R f : I → R dérivable. Alors : f est croissante sur I si et seulement si, pour tout x∈I x ∈ I , f′(x)≥0 f ′ ( x ) ≥ 0 ; f est strictement croissante sur I si et seulement si f′≥0 f ′ ≥ 0 et si f′ n'est identiquement nulle sur aucun intervalle [a,b]⊂I [ a , b ] ⊂ I avec a<b .
Une fonction f:I→R f : I → R est donc dérivable en a si et seulement s'il existe α∈R α ∈ R et une fonction ε définie dans un intervalle J ouvert contenant 0 , vérifiant limh→0ε(h)=0 lim h → 0 ε ( h ) = 0 tels que ∀h∈J, f(a+h)=f(a)+αh+hε(h).
La dérivée k-i`eme se note f(k) et on a f(k) = (f(k−1)) . On dit que f est indéfiniment dérivable si f est k-dérivable pour tout k. On dit que f est de classe Ck si f(k) existe et est continue.
Alors la fonction (u + v) est dérivable sur I et sa dérivée est u + v . On note : (u + v) = u + v . Remarque : De la même façon, on a donc (u − v) = u − v . Propriété : Dérivée d'un quotient Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I, telle que, pour tout x de I, v (x) = 0.
Pour déterminer le sens de variation d'une fonction f , on étudie le signe de sa dérivée : f ′ ( x ) . Pour interpréter ce signe : Si f ′ ( x ) a le signe + sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle. Si f ′ ( x ) a le signe - sur un intervalle, alors f est décroissante sur cet intervalle.
Si la fonction f est continue sur I et si fs est continue en a alors f est dérivable en a. Pour une fonction continue sur I, l'existence d'une dérivée symétrique positive suffit pour affirmer que f est croissante et l'existence d'une dérivée symétrique constamment nulle suffit pour prouver que f est constante.
Lorsque sur un intervalle les nombres dérivés sont positifs, c'est qu'à cet endroit-ci la fonction est croissante. Graphiquement, ça se traduit par une courbe qui monte et une tangente qui en fait de même puisque son coefficient directeur est positif. Et inversement sur les intervalles où le nombre dérivé est négatif.
La dérivée définit une fonction égale à la pente de la tangente en chaque point de la courbe. Il est possible que la dérivée d'une fonction ne soit pas définie en un point même si la fonction est continue en ce point.
La dérivée, 𝑓 ′ ( 𝑥 ) est positive lorsque la courbe est au-dessus de l'axe des 𝑥 , et est négative lorsque la courbe est sous l'axe des 𝑥 . Lorsque 𝑥 ∈ ] 1 ; 5 [ , on a 𝑓 ′ ( 𝑥 ) > 0 , donc la pente de la courbe représentative de 𝑓 ( 𝑥 ) est positive.
On appelle fonction logarithme népérien, noté ln (ou ), la primitive définie sur ,de la fonction x ↦ 1 x s'annulant pour . Pour : ln x > 0 est l'aire limitée par la courbe représentative y = 1 / t , l'axe et les droites d'équations et .