On dit que la suite u est majorée lorsqu'il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n, un ≤ M. Le nombre M est alors appelé un majorant de la suite u. On dit que la suite u est minorée lorsqu'il existe un réel m tel que pour tout entier naturel n, un ≥ m.
Pour montrer qu'une suite est majorée, minorée ou bornée, on peut utiliser les méthodes suivantes : > Travailler avec des inégalités ou des inéquations. > Faire une démonstration par récurrence. donc (un) est bornée et pour tout n ∈ N n ≥ 1, un ∈ [1;2[.
La relation x ≥ y se dit x est supérieur ou égal `a y. Si x ≤ y, on dit que x minore y ou que y majore x. Soit E un sous-ensemble de R, on dit a est un majorant de E si a majore tous les éléments de E.
Pour déterminer le sens de variation d'une suite (un), on peut utiliser l'une des règles suivantes : a) On étudie le signe de la différence un+1 − un. ▶ Si un+1 − un est positive, alors la suite (un) est croissante. ▶ Si un+1 − un est négative, alors la suite (un) est décroissante.
Une suite croissante est minorée par son premier terme, et une suite décroissante est majorée par son premier terme (sera démontré par récurrence plus tard).
Comme la suite est non majorée, il existe au moins un terme up de la suite tel que up > A. Or la suite étant croissante, si l'on prend n supérieur à p, on aura un supérieur à up, c'est-à- dire, un supérieur à A. Donc on a prouvé que, à partir du terme up, tous les termes de la suite sont supérieurs à A.
Pour une fonction f définie sur un ensemble X et à valeurs réelles ou complexes, cela revient à dire qu'il existe un nombre réel M tel que pour tout x dans X, Une fonction à valeurs réelles est dite majorée ( resp. minorée) si l'ensemble de ses valeurs possède un majorant ( resp. minorant) réel.
Définition : On dit qu'un réel est un majorant de si tout élément de est inférieur ou égal à . On dit que est majorée si admet un majorant (elle en admet alors une infinité). On définit de même un minorant, une partie minorée.
Il n'existe pas de méthode générale qui permette de trouver ce majorant (ou minorant). Voici quelques pistes : - utiliser des majorations classiques et faire une majoration "à la main" - utiliser des propriétés particulières de la fonction, par example être bornée.
Définitions : • Une suite est croissante si chaque terme est supérieur ou égal à son précédent : un+1 ≥ un ou: Une suite est décroissante si chaque terme est inférieur ou égal à son précédent : un+1 ≤ un ou: Une suite est monotone si elle est croissante ou si elle est décroissante.
DEFINITION: Soit E un ensemble non vide, ordonné. E est dit minoré, s'il existe un élément m tel que tout élément x de E soit supérieur ou égal à m. E est dit majoré s'il existe un élément M tel que tout élément x de E soit inférieur ou égal à M.
1. Diminuer l'importance de quelque chose, lui accorder une valeur moindre : Minorer un incident diplomatique. 2. Porter quelque chose à un chiffre inférieur : Minorer les prix de 10 %.
Re : Majoration d'une fonction par un polynôme
La fonction f est impaire, donc |f| est paire ( comme 1+x2 1 + x 2 ). Il suffit donc de montrer l'inégalité sur ]0,+∞[ puisqu'elle est vraie en 0. alors si 0 < x < e vous pourrez montrer que x(1−ln(x)) x ( 1 − l n ( x ) ) est inférieur à 1, donc a fortiori à 1+x2 1 + x 2 .
1. Augmenter de tant le prix, la valeur ou le montant de quelque chose : Majorer de 10 % les salaires. 2. Estimer quelque chose au-dessus de sa valeur véritable : Facture majorée de 10 %.
Un réel M est un majorant de F signifie que pour tout y de F, yM. Un réel m est un minorant de F signifie que pour tout y de F, m y. Remarque. En général, M et m, si ils existent, ne sont pas des éléments de F.
Un maximum d'une fonction se trouve où la dérivée est nulle et la dérivée seconde est strictement négative. Un minimum d'une fonction se trouve où la dérivée est nulle et la dérivée seconde est strictement positive.
On dit que f admet un maximum en a si, pour tout x∈I x ∈ I , f(x)≤f(a) f ( x ) ≤ f ( a ) . On dit que f admet un minimum en a si, pour tout x∈I x ∈ I , f(x)≥f(a) f ( x ) ≥ f ( a ) .
On dit que la suite u est bornée lorsqu'elle est à la fois majorée et minorée. Si la suite u est une suite croissante et majorée, alors elle converge. Si la suite u est décroissante et minorée, alors elle converge. Si la suite u est majorée par M et convergente vers le nombre L, alors L ≤ M.
Si une suite n'est pas majorée alors elle tend vers +∞ Faux : (−2)n 2. Si une suite n'est pas minorée alors elle tend vers −∞ Faux : (−2)n 3. Si une suite est strictement croissante alors elle tend vers +∞ Faux : 1 − 1 n , ou −e−n.
Les pré requis Définition d'une suite non majorée Définition d'une suite croissante Définition d'une suite qui tend vers l'infini . u est non majorée donc pour tout A réel , il existe un terme de la suite plus grand que A .
Sens de variation, convergence et majoration/minoration
Si une suite est croissante et converge vers L, alors elle est majorée par L. Si une suite est décroissante et converge vers L, alors elle est minorée par L.
Si pour tout x, f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) et si les fonctions f et h ont la même limite L en k, alors la limite de la fonction g en k est aussi L. C'est ce théorème que l'on utilise pour établir que la limite de sin(x)/x quand x tend vers 0 est égale à 1.
Suites monotones
Une suite réelle monotone est une fonction monotone (c'est-à-dire croissante ou décroissante) de ℕ dans ℝ. De même, une suite réelle est dite strictement monotone lorsqu'elle est strictement croissante ou strictement décroissante.
Une fonction peut-elle être ni croissante ni décroissante ? - Quora. Oui, cela s'appelle une fonction non monotone. C'est une fonction qui ne croit ni ne décroit.