Soient u et v deux vecteurs de l'espace. u et v sont colinéaires lorsqu'il existe un nombre réel λ non nul tel que u =λv ou v =λu .
Donc, si le vecteur →u est colinéaire au vecteur →v , alors il existe un scalaire k tel que →u=k→v u → = k v → . Si on veut utiliser cette caractéristique pour savoir si deux vecteurs sont colinéaires, il faut être en mesure de trouver la valeur de ce scalaire k. k .
L'espace vectoriel R 3 a pour dimension 3 . La partie { u , v , w } contient exactement trois vecteurs, aussi, pour démontrer que ( u , v , w ) est une base de R 3 , il suffit de démontrer que la partie { u , v , w } est une partie libre. Le triplet ( 0 , 0 , 0 ) est l'unique solution du système ( S ) .
Tout vecteur peut être exprimé sous la forme 𝑥 ⃑ 𝑖 + 𝑦 ⃑ 𝑗 + 𝑧 ⃑ 𝑘 . On peut, alternativement, l'écrire sous forme de composantes comme suit : ( 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ) et 𝑥 𝑦 𝑧 .
On regarde si les coordonnées des vecteurs sont proportionnelles. Si les coordonnées sont proportionnelles, alors les vecteurs sont colinéaires. Si les coordonnées ne sont pas proportionnelles, alors les vecteurs ne sont pas colinéaires. Le vecteur nul →0 est colinéaire à tout vecteur.
Définition 1.
Deux droites ont la même direction si et seulement si elles sont parallèles ou confondues. On dit que deux vecteurs et sont colinéaires lorsqu'ils ont la même direction. Par conséquent, deux droites qui n'ont pas la même direction sont sécantes.
Définition d'une base
Une famille de vecteurs de E est une base de E si c'est une famille à la fois génératrice de E et libre. De façon équivalente, une famille est une base de l'espace vectoriel E quand tout vecteur de l'espace se décompose de façon unique en une combinaison linéaire de vecteurs de cette base.
Un repère de l'espace est un quadruplet formé : - d'un point O appelé origine du repère, - d'un triplet de vecteurs non coplanaires. Si les vecteurs sont deux à deux orthogonaux, le repère est dit orthogonal.
Des vecteurs (au moins au nombre de 3) sont dits coplanaires si leurs représentants appartiennent au même plan. appartienent au même plan ce qui implique le point correspondant à leur origine (O) ainsi que les points correspondant à leurs extêmités ( A, B et C) font partie d'un même plan. = a. + b.
Deux vecteurs ⃗ u (x;y) et ⃗ v (x′;y′) sont colinéaires si et seulement si : Méthode 1 : x × y ′ − x ′ × y = 0 x\times y' - x'\times y=0 x×y′−x′×y=0. Méthode 2 : il existe une réel k tel que : x ′ = k x x'=kx x′=kx et y ′ = k y y'=ky y′=ky.
Propriété : Les droites d'équation ax + by + c = 0 et a'x + b' y + c' = 0 sont parallèles si et seulement si ab'− a'b = 0. ( )= 0 soit encore : ab'− a'b = 0 . Définition : On appelle base du plan tout couple de deux vecteurs non colinéaires.
Les trois points A 1 , A 2 , A 3 sont alignés si et seulement si les vecteurs A 1 A 2 → et A 1 A 3 → sont colinéaires, donc si et seulement si le déterminant des vecteurs A 1 A 2 → , A 1 A 3 → , est nul.
Trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si on peut trouver trois représentants de ces vecteurs situés dans un même plan. Attention, le fait qu'initialement les premiers représentants choisis ne soient pas dans un même plan n'empêche absolument pas les vecteurs d'être coplanaires.
2) Les vecteurs u, v et w sont non coplanaires ssi ils forment une base de l'espace, c'est à dire ssi au+bv+cw=0 implique a=b=c=O. Donc, on peut écrire le système d'équation à trois inconnues orrespondant à au+bv+cw=0. S'il a une solution non triviale, les vecteurs sont coplanaires, sinon ils ne le sont pas.
Définition : Trois vecteurs sont coplanaires s'ils possèdent des représentants appartenant à un même plan. Propriété : Soit , et trois vecteurs non coplanaires. Pour tout vecteur , il existe un unique triplet tel que .
Se repérer, c'est donner des repères pour indiquer sa position dans l'espace. Se repérer, c'est indiquer sa position par rapport à un objet donné. Pour te situer ou situer un objet, tu peux utiliser les mots : sous, sur, entre, devant, derrière.
Selon les endroits de l'espace concernés, on le qualifie parfois d'espace cislunaire, interplanétaire, interstellaire (ou intersidéral) ou intergalactique pour désigner plus précisément le vide spatial qui est délimité respectivement par le système Terre-Lune, les planètes, les étoiles et les galaxies.
On dit aussi qu'un plan est un espace à deux dimensions, c'est-à-dire qu'on peut rattacher tous les points avec seulement deux directions différentes. Cela s'oppose à l'espace qui, lui, a trois dimensions et qui peut contenir des figures ayant un volume.
Pour ce côté là, il suffit de dire que le cardinal de (u,v) est égal au cardinal de (i,j), autrement dit, (u,v) contient autant de vecteurs que (i,j). Donc (u,v) est génératrice de V. De plus, dim V = 2 car (i,j) est une base de V. Donc (u,v) est une base de V.
Tout espace vectoriel de type fini (c'est-à-dire admettant une famille finie de générateurs), non réduit à , admet une base.
Exemple. La famille (u_1=(1,0), u_2=(0,1)) \in \mathbb{R^2} est libre, car ces deux vecteurs sont non colinéaires. La dimension de l'espace vectoriel \mathbb{R^2} étant 2, alors la famille u_1, u_2 est génératrice de \mathbb{R^2} (elle est donc une base de \mathbb{R^2}).
Les droites (d) et (d') sont parallèles si et seulement si et sont colinéaires, c'est-à-dire si et seulement si le déterminant de et de est nul. Les droites (d) et (d') sont sécantes si et seulement si et ne sont pas colinéaires, c'est-à-dire si et seulement si le déterminant de et de n'est pas nul.
Pour que deux vecteurs soient égaux, il faut qu'ils aient même norme, même direction et même sens.
Vecteurs colinéaires
= k . Deux vecteurs sont colinéaire s'ils ont la même direction, le même sens, et s'ils sont proportionnels.
Les vecteurs , et sont coplanaires (c'est-à-dire appartiennent à un même plan) s'il existe 4 points O, A, B, C d'un même plan tels que O est un point quelconque et que les points A, B et C définis par : , et . Soit , et trois vecteurs de l'espace, avec et non colinéaires.