Deux variables aléatoires X et Y sont dites indépendantes si, pour tous intervalles A et B de R P(X∈A, Y∈B)=P(X∈A)P(Y∈B). P ( X ∈ A , Y ∈ B ) = P ( X ∈ A ) P ( Y ∈ B ) .
Les évènements 𝐴 et 𝐵 sont indépendants si la réalisation de 𝐴 n'affecte pas la probabilité que 𝐵 soit réalisé. C'est-à-dire 𝑃 ( 𝐵 ∣ 𝐴 ) = 𝑃 ( 𝐵 ) , où 𝑃 ( 𝐵 ∣ 𝐴 ) représente la probabilité que l'évènement 𝐵 se réalise sachant que l'évènement 𝐴 se réalise.
La loi du couple (X, Y ) est définie par l'ensemble des probabilités : IP(X = x, Y = y) pour toutes valeurs possibles x et y. De même, pour y ∈ DY , on a IP(Y = y) = ∑x∈DX IP(X = x, Y = y). À partir de la loi du couple, on retrouve facilement la loi de chacune des variables.
Indépendance de deux évènements
Ainsi les évènements A et B sont dits indépendants si notre pronostic sur l'évènement A est le même : si on sait que l'évènement B s'est produit (pronostic. ), si on sait que l'évènement B ne s'est pas produit (pronostic.
La loi du couple (X,Y), appelée loi de probabilité simultanée ou loi conjointe, est la loi de la variable aléatoire Z définie par l'ensemble des nombres pij, (0 ≤ pij < 1) tels que : pij = Pr(X = xi ∩ Y = yi).
On dit que deux variables aléatoires X et Y ont la même loi si elles ont la même fonction de répartition FX = FY .
Théorème (espérance du produit de deux variables aléatoires indépendantes) : Si X et Y sont indépendantes et admettent une espérance, alors XY admet une espérance et E(XY)=E(X)E(Y) E ( X Y ) = E ( X ) E ( Y ) .
On dit que 𝐴 et 𝐵 sont des évènements incompatibles si 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ . Cela revient à dire que les évènements ne peuvent pas se produire en même temps, car 𝑃 ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) = 𝑃 ( ∅ ) = 0 . On dit qu'un ensemble d'évènements est incompatible s'ils sont incompatibles deux à deux.
Définition. Soit A et B deux événements tels que p ( A ) ≠ 0 p\left(A\right)\neq 0 p(A)≠0, la probabilité de B sachant A est le nombre : p A ( B ) = p ( A ∩ B ) p ( A ) .
P(A/B) désigne la probabilité que A se réalise sachant que B s'est réalisé. P(A ET B) = P(A) ´ P(B/A) = P(B) ´ P(A/B).
Par exemple, la courbe de Gauss permet de calculer la probabilité pour qu'une note, choisie au hasard dans un ensemble de notes, appartienne à un intervalle donné.
On dit qu'une variable aléatoire X suit la loi normale de paramètres m∈R m ∈ R et σ2 , avec σ>0 , ce que l'on note X↪N(m,σ2) X ↪ N ( m , σ 2 ) si elle est continue et admet pour densité : f(x)=1σ√2πexp(−(x−m)22σ2). f ( x ) = 1 σ 2 π exp
On calcule les probabilités P([X = x]∩[Y = y]) pour tout (x,y) ∈ X(Ω)×Y (Ω). Comme pour une variable aléatoire unique, on résume souvent la loi sous la forme d'un tableau, cette fois à double entrée. La somme de toutes les probabilités est toujours égale à 1.
Un indépendant est un professionnel qui exerce une activité économique (commerciale, agricole ou libérale) de façon autonome en son nom et pour son propre compte. En font partie les artisans, les commerçants ou encore les prestataires de services (consultant freelance).
La probabilité que deux évènements indépendants se réalisent dans une même expérience aléatoire est égale au produit de leurs probabilités. Ainsi, si A et B sont des évènements d'un espace probabilisé U, on a l'égalité : P(A) × P(B) = P(A ∩ B)
L'événement "A ou B", noté A ∪ B, est réalisé lorsqu'au moins l'un des deux événements est réalisé. Théorème : Si A et B sont deux événements d'une expérience aléatoire, alors : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Cette formule s'écrit aussi : P(A∩B)=P(A)×PA(B). Cette expression s'obtient à partir de la formule initiale en multipliant chacun des membres par P(A).
La valeur de p pour : un test unilatéral à gauche est exprimé comme suit : valeur de p = P(ST st | H 0 est vrai) = cdf(ts) un test unilatéral à droite est exprimé comme suit : valeur de p = P(ST st | H 0 est vrai) = 1 - cdf(ts)
Dans la théorie des ensembles, l'intersection est une opération ensembliste qui porte le même nom que son résultat, à savoir l'ensemble des éléments appartenant à la fois aux deux opérandes : l'intersection de deux ensembles A et B est l'ensemble, noté A ∩ B, dit « A inter B », qui contient tous les éléments ...
Les évènements dépendants et indépendants
Des évènements dépendants sont des évènements dont la réalisation de l'un affecte la réalisation de l'autre. Des évènements indépendants sont des évènements dont la réalisation de l'un n'influence pas la réalisation de l'autre.
Deux évènements incompatibles sont deux évènements qui ne peuvent se produire en même temps. 𝑃 ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) = 0 ; 𝑃 ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) = 𝑃 ( 𝐴 ) + 𝑃 ( 𝐵 ) (la règle de l'addition pour les évènements incompatibles) ; 𝑃 ( 𝐴 − 𝐵 ) = 𝑃 ( 𝐴 ) (la règle de la différence pour les évènements incompatibles).
Deux événements sont dits incompatibles s'ils ne peuvent pas se produire en même temps. Dans l'expérience 2, les événements « la face supérieure du dé est 1 » et « la face supérieure du dé est 2 » sont incompatibles. En effet, un dé immobilisé ne peut montrer les faces 1 et 2 en même temps.
L'âge est un autre exemple de variable continue qui est le plus souvent rapportée en arrondissant à l'entier inférieur.
Exemple : l'âge est théoriquement une variable quantitative continue, mais en pratique l'âge est mesuré dans le meilleur des cas au jours près.
La corrélation est une mesure statistique qui exprime la notion de liaison linéaire entre deux variables (ce qui veut dire qu'elles évoluent ensemble à une vitesse constante). C'est un outil courant permettant de décrire des relations simples sans s'occuper de la cause et de l'effet.