Dire que deux vecteurs et sont colinéaires équivaut à dire que, dans tout repère du plan, leurs coordonnées sont proportionnelles. et sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel tel que : x ′ = k x et y ′ = k y .
Cas : si et sont deux vecteurs tels qu'il existe un scalaire vérifiant u = λ v ( et sont alors linéairement dépendants), on dit que est proportionnel à . A noter que si de plus et sont non nuls, est aussi proportionnel à (car sera nécessairement non nul et donc v = λ − 1 u ).
Donc, si le vecteur →u est colinéaire au vecteur →v , alors il existe un scalaire k tel que →u=k→v u → = k v → . Si on veut utiliser cette caractéristique pour savoir si deux vecteurs sont colinéaires, il faut être en mesure de trouver la valeur de ce scalaire k. k .
La méthode de prédilection pour montrer que deux vecteurs sont orthogonaux va donc être de montrer que leur produit scalaire est nul.
Pour montrer qu'un point appartient à un plan donné par une équation cartésienne, on s'assure que ses coordonnées vérifient l'équation. Pour passer d'une équation cartésienne à une équation paramétrique d'un plan, on exprime une variable en fonction des 2 autres qu'on appelle t et t′.
Comment déterminer la représentation paramétrique d'un plan ? Pour déterminer la représentation paramétrique d'un plan, nous devons avoir les coordonnées de trois points du plan, ou d'un point du plan et deux vecteurs directeurs. Ensuite, il faut remplacer les valeurs pertinentes dans une formule.
Définition. Deux vecteurs sont dits orthogonaux si leurs directions sont perpendiculaires. Exemple : Sur le schéma ci-dessous, AB est un représentant du vecteur u et AC est un représentant du vecteur v . Comme les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires, les vecteurs u et v sont orthogonaux.
Définition - Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux s'ils forment un angle droit (quand ils sont représentés partant du même point). Dans ce cas, le cosinus de l'angle vaut 0 et on déduit de la proposition que le produit scalaire est nul. →u⊥→v⇔→u⊙→v=0.
On peut trouver la première coordonnée du vecteur en calculant la différence entre les abscisses 𝑥 de l'extrémité et de l'origine ; la première coordonnée (ou de manière équivalente, la coordonnée en 𝑥 ) du vecteur ⃑ 𝑣 est − 7 − ( − 1 ) = − 6 .
On détermine si cette égalité est vérifiée. Deux vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} sont colinéaires si et seulement si xy'-x'y =0.
On trouve les coordonnées de chaque vecteur. On regarde si les coordonnées des vecteurs sont proportionnelles. Si les coordonnées sont proportionnelles, alors les vecteurs sont colinéaires. Si les coordonnées ne sont pas proportionnelles, alors les vecteurs ne sont pas colinéaires.
Exemples : a) ( 2 ; – 3 ) et ( 10 ; – 15 ) sont colinéaires en effet 10 = 2 x 5 et –15 = –3 x 5 donc = 5 . c) (4 ; 5 ) et (8 ; –10 ) ne sont pas colinéaires en effet : ≠ 0 et ≠ 0 et s'il existe tel que = , alors 8 = x 4 donc = 2 et -10 = x 5 donc = -2 .
Dans un partage proportionnel, il s'agit de partager une grandeur proportionnellement à un critère donné. Par exemple, il peut s'agir de partager une prime proportionnellement aux heures supplémentaires effectuées, ou le gain de chaque joueur proportionnellement à leur mise...
Deux droites tracées dans un repère du plan sont parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux. Elles sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs est égal à -1.
Soit u et v deux vecteurs de coordonnées u (xy) et v (x′y′). Alors u ⋅v =xx′+yy′. Exemple : Soit u et v deux vecteurs de coordonnées u (20,5) et v (3−4). Alors u ⋅v =2×3+0,5×(−4)=6−2=4.
La preuve de ce théorème :
Si la droite D a pour équation a.x + b.y + c = 0 alors un vecteur directeur de D est le vecteur (-b ; a). Faisons un test d'orthogonalité sur le vecteur et le vecteur . a × (-b) + b × a = -a.b + b.a = 0. Autrement dit les vecteurs et sont orthogonaux.
Le produit scalaire est parfois utilisé sous cette forme pour déterminer le travail d'une force lors d'un déplacement : le travail de la force F selon le trajet u est le produit scalaire des deux vecteurs. Dans la seconde illustration, ce travail est égal à –AB × AH.
Pour savoir si un point A appartient à une droite : Avec une représentation paramétrique: 1) On remplace x, y, z par les coordonnées de A dans une représentation paramétrique. 2) On vérifie qu'on obtient la même valeur de t dans les 3 équations.
Il suffit de prendre un vecteur colinéaire à pour obtenir une autre représentation paramétrique. Une équation paramétrique du plan P passant par A (1 ; 2 ; 3) et de vecteurs directeurs (1 ; 0 ; 1) et (1 ; 2 ; 5) est avec t et t' ∈ . La représentation paramétrique d'une droite est .
On peut déterminer une équation cartésienne d'un plan en s'appuyant sur la propriété énoncée ci-dessous : Soient a, b, c trois réels non tous nuls, l'ensemble des points M de l'espace de coordonnées (x, y, z) tels que ax + by + cz + d = 0 est un plan de vecteur normal \vec{n} de coordonnées (a, b, c).
coordonnées d'un point
Dans un repère du plan, on a besoin de deux nombres pour indiquer la position d'un point : ce sont ses coordonnées. La première coordonnée, l' abscisse, se lit sur l'axe horizontal (l'axe des abscisses) ; la seconde, l' ordonnée, se lit sur l'axe vertical (l'axe des ordonnées).
Construire le symétrique du point A, par rapport au point O, c'est placer le point A' sur la demi-droite [AO), tel que : AO = OA'. On mesure la longueur AO, à la règle ou au compas ; Puis on reporte cette longueur de l'autre côté, sur la droite (AO).
Indice : En géométrie vectorielle, pour montrer que 4 points sont coplanaires, il faut montrer que trois des vecteurs qu'ils forment sont coplanaires. Pour ça, il faut exprimer un des trois vecteurs en fonction des deux autres.