Les fonctions construites à partir des fonctions de référence sont continues sur leur ensemble de définition. Les fonctions rationnelles sont continues sur leur ensemble de définition. , car c'est une fonction polynôme. \{3}, car c'est une fonction rationnelle dont le dénominateur s'annule pour x = 3.
Nous pouvons pour cela utiliser le fait qu'une fonction rationnelle est continue sur son ensemble de définition. Ceci est prouvé en utilisant les lois des limites et l'ensemble de définition de notre fonction rationnelle est l'ensemble des nombres réels moins le seul nombre réel qui rend le dénominateur nul.
Continuité en un point
f est continue en a⟺limx→af(x)=f(a), ce qui signifie aussi que pour tout réel strictement positif ε, il est possible déterminer un réel strictement positif δ tel que : |x−a|<δ⟹|f(x)−f(a)|<ε.
Ainsi, il suffit de dire que en dehors de ces réels 0 et 1 (c'est à dire en tout réel distinct de 0 et de 1) la fonction est bien continue (car ce sont des fonctions "usuelles"). Ensuite, il suffit de savoir si en 0, à gauche, la fonction admet une limite et si c'est la même que celle en 0, à droite (si elle existe).
Une fonction est donc prolongeable par continuité en un point extérieur à son domaine de définition si elle admet une limite finie en ce point. Pour une fonction réelle d'une variable réelle, cette propriété assure notamment son intégrabilité en ce point.
La fonction f est dite continue au point a si f(a) est une limite de f en ce point. Si F est séparé (ou même seulement T1) comme tout espace métrisable, il suffit pour cela qu'il existe une limite de f en ce point.
Important! Pour trouver la règle d'une fonction rationnelle, il faut toujours utiliser l'équation sous la forme canonique simplifiée, c'est-à-dire f(x)=ax−h+k.
Si f admet une limite finie en x0, notée l, on dit que f est prolongeable par continuité en x0 par la fonction: f : Df ∪ {x0} → R x ↦→ ∣ ∣ ∣ ∣ f(x) si x = x0 , l si x = x0 . La fonction f s'appelle le prolongement par continuité de f.
Par exemple, f : x ∈ R∗ ↦→ x2 sin(1/x) se prolonge continûment en 0 en posant f(0) = 0, se prolongement est dérivable mais pas de classe C1. En effet, f : x ∈ R \ {0} ↦→ 2x sin(1/x) − cos(1/x) or f (0) = 0 et cos(1/x) n'a pas de limite en 0.
Dans le cas d'une fonction f définie par l'équation y = x² – 7x + 12, on dira que les valeurs 3 et 4 sont les zéros de la fonction f puisque f(3) = f(4) = 0. On dira aussi que 3 et 4 sont les solutions de l'équation x² – 7x + 12 = 0.
Par conséquent pour simplifier une expression rationnelle, il faut décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs et retrancher des deux tous les facteurs leur étant communs. Note: (a – b) = –1(b – a).
Une fraction rationnelle à coefficients dans K est le quotient PQ de deux polynômes de K[X] avec Q≠0 Q ≠ 0 . Par définition, PQ=RS P Q = R S si et seulement si PS=QR P S = Q R . On note K(X) l'ensemble des fractions à coefficients dans K .
On dit qu'une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en tout point de l'intervalle. Aux extrémités de l'intervalle, il faut comprendre continue par continue à droite ou continue à gauche.
Autrement dit, c'est une fraction dont le numérateur et la dénominateur sont des polynômes. Voici trois exemples de fractions rationnelles : x + 5 x 2 − 4 x + 4
En mathématiques, une fonction rationnelle est une fonction définie par une fraction rationnelle, c'est-à-dire une fraction algébrique (en) dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes.
Nombre rationnel
3,14 ; 5 ; -3,2 et -7 sont des nombres rationnels. Le nombre \pi est un nombre irrationnel, c'est-à-dire non rationnel.
Simplifier une fraction, c'est l'écrire avec un numérateur et un dénominateur plus petits. En pratique, cela revient à diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre. Simplifier . 15 et 75 sont divisibles par 5 car leurs chiffres des unités est 5.
Les fractions rationnelles
On doit multiplier les deux termes de la première fraction par et les deux termes de la deuxième par . Ensuite on additionne les numérateurs des deux fractions.
La symétrie par rapport à l'axe des ordonnées transforme la courbe de 𝑓 de 𝑥 en 𝑓 de moins 𝑥. Comme nous avons commencé avec 𝑓 de 𝑥 égale un sur 𝑥, nous nous retrouverions avec 𝑓 de 𝑥 égale un sur moins 𝑥 qui peut être réécrit comme 𝑓 de 𝑥 est égal à moins un sur 𝑥.
Nous allons travailler sur trois "zones" différentes : Si x ⩽ 1 3 (on aura alors également x < 2), alors f (x) = −x +2+(−3x +1) = −4x +3; Si 1 3 < x < 2, alors f (x) = −x +2+(3x −1) = 2x +1; Si x ⩾ 2, alors f (x) = x −2+(3x −1) = 4x −3.
La fonction valeur absolue prenant deux valeurs différentes suivant les valeurs de x, sa dérivée fera de même. Si x < 0, sa dérivée vaut −1. Si x > 0, sa dérivée vaut 1. La fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0.
Remarque : On ne peut pas dire que la fonction valeur absolue est dérivable sur R* car R* n'est pas un intervalle.