Ces positions relatives sont par ailleurs caractéristiques des droites coplanaires : pour prouver que deux droites sont coplanaires il suffit de prouver qu'elles sont sécantes ou parallèles, et pour prouver que deux droites ne sont pas coplanaires, il suffit de montrer qu'elles ne sont ni sécantes ni parallèles.
Pour savoir si →u, →v et →w sont coplanaires:
Pour celà, on cherche 2 nombres a et b tels que →w=a→u+b→v. Si on peut trouver a et b alors →u, →v et →w sont coplanaires. Sinon →u, →v et →w ne sont pas coplanaires. Les points A, B, C, D sont-ils coplanaires?
Définition Dans l'espace, deux droites peuvent être coplanaires ou non. Si elles sont coplanaires, alors elles appartiennent à un même plan. Elles peuvent donc être sécantes (avoir un point d'intersection) ou parallèles (strictement parallèles ou confondues).
Les droites (d) et (d') sont parallèles si et seulement si et sont colinéaires, c'est-à-dire si et seulement si le déterminant de et de est nul. Les droites (d) et (d') sont sécantes si et seulement si et ne sont pas colinéaires, c'est-à-dire si et seulement si le déterminant de et de n'est pas nul.
Un vecteur normal à (Q) est : Il n'existe pas de réel k tel que 1xk=2 et (-1)xk=1 donc ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires. Les plans (P) et (Q) ne sont donc pas parallèles. Ils sont par conséquent sécants, et leur intersection est une droite.
Deux droites sont parallèles si et seulement si elles sont coplanaires et non sécantes (c'est-à-dire confondues ou n'ayant aucun point commun). Attention : Dans l'espace, 2 droites non sécantes ne sont pas forcément parallèles !
Soient deux droites (MB) et (NC) sécantes en un point A. Si AM AB = AN AC et si les points A,B et M d'une part et les points A, C et N d'autre part sont alignés dans le même ordre alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
Des droites sécantes sont des droites qui se croisent en un seul point. On qualifie de point d'intersection le point de rencontre entre deux droites ou plus.
coplanaire
Se dit de points, de droites situés dans un même plan.
Propriété : Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles. Conclusion : les droites et sont parallèles.
Deux droites non parallèles à l'axe des ordonnées sont parallèles ou confondues si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. Or le coefficient directeur de d_1 vaut 2 et celui de d_2 vaut -1. Les droites d_1 et d_2 ne sont donc pas parallèles.
Des droites disjointes sont des droites qui n'ont aucun point en commun.
Indice : En géométrie vectorielle, pour montrer que 4 points sont coplanaires, il faut montrer que trois des vecteurs qu'ils forment sont coplanaires. Pour ça, il faut exprimer un des trois vecteurs en fonction des deux autres.
les vecteurs ont la même direction ou bien l'un des deux vecteurs est le vecteur nul 0 ; les vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel k tel que u → = k v → \overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v} u =kv .
Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs A B → \overrightarrow{AB} AB et A C → \overrightarrow{AC} AC sont colinéaires. C'est-à-dire : « A, B et C sont alignés si et seulement s'il existe un réel k tel que A C → = k A B → \overrightarrow{AC} = k \overrightarrow{AB} AC =kAB ».
Les vecteurs \vec{u}, \vec{v} et \vec{w} sont coplanaires si, et seulement si, il existe deux nombres réels \lambda et \mu tels que \vec{w} = \lambda \vec{u} + \mu \vec{v}. Vocabulaire On dit que \vec{w} est une combinaison linéaire de \vec{u} et \vec{v}.
Définition : Trois vecteurs sont coplanaires s'ils possèdent des représentants appartenant à un même plan. Propriété : Soit , et trois vecteurs non coplanaires. Pour tout vecteur , il existe un unique triplet tel que .
Trois points A, B et C définissent un plan si et seulement s'ils ne sont pas alignés. Soient les points A\left(1;-2;0\right), B\left(3;4;0\right) et C\left(3;1;5\right). Déterminer si les points A, B et C définissent un plan.
Deux droites sont perpendiculaires si elles se croisent en formant des angles droits (90°).
Deux droites qui se coupent, donc sécantes, en formant un angle droit (angle de 90°) sont dites perpendiculaires. On utilise se symbole : ⊥. Les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires : (AB) ⊥ (CD). Notez bien le symbole sur la figure pour montrer que les deux droites sont perpendiculaires.
3) Deux droites peuvent avoir exactement trois points communs. 4) Deux droites non perpendiculaires sont sécantes. ou parallèles le sont réellement.
Théorème de Thalès (appliqué au triangle)
D'après le théorème de Thalès, si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors on a l'égalité : \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} =\frac{MN}{BC}.
Selon la légende, Thalès aurait découvert ce théorème en calculant la hauteur d'une pyramide. Pour se faire, le mathématicien calcule l'ombre de la pyramide au sol puis, avec l'aide d'un bâton, calcule également l'ombre du bâton. C'est ainsi qu'il aurait pu calculer les dimensions de la pyramide d'Egypte.
Principe. . Lorsque trois forces ne sont pas parallèles, alors, si l'objet est à l'équilibre, les droites d'action des forces sont coplanaires et se coupent en un même point, habituellement noté I.