Une partie F d'une algèbre E est une sous-algèbre de E si muni des lois + , × , ⋅ héritées de E , c'est une algèbre. Si E et F sont deux algèbres, une application f:E→F f : E → F est un morphisme d'algèbre si c'est un morphisme d'anneaux et une application linéaire.
Sous-algèbre : On qualifie ainsi une partie B d'une algèbre (A, K,+,.,×), stable pour les opérations de A, possédant la structure d'algèbre pour les lois induites. Ce qui revient à dire que B est un sous-espace vectoriel de A et que B est stable pour la multiplication (×) de A.
On qualifie de sous-corps d'un corps (K, +,∗) un sous-anneau A de K tel que l'inverse de tout x non nul de A soit élément de A.
Une algèbre est un ensemble muni de trois lois. Les deux premières lui confèrent la structure d'espace vectoriel. La troisième loi est une loi de composition interne appelée produit. Cette loi est associative, possède un élément neutre, et est distributive par rapport à l'addition.
Si R est un anneau et E un module (à gauche) sur R, on considère pour chaque a de R l'application fa de E vers E définie par fa(x) = ax, qui est un endomorphisme du groupe abélien E. L'application qui à a associe fa est alors un morphisme d'anneaux de l'anneau R vers l'anneau des endomorphismes de groupe de E.
L'ensemble (ℤ, +, ×) n'est pas un corps car la plupart des éléments non nuls de ℤ ne sont pas inversibles : par exemple, il n'existe pas d'entier relatif n tel que 2n = 1 donc 2 n'est pas inversible.
Les idéaux maximaux de Z/nZ sont les pZ/nZ, avec p|n premier. Exemple. Les idéaux de Z/8Z sont {0},2Z/8Z,4Z/8Z,Z/8Z et son seul idéal maximal est 2Z/8Z. automorphisme est réalisé par σ : x → (σ(x) :→ xy).
Les sous-ensembles de E forment un ensemble appelé ensemble des parties de E et noté P(E). Exemple - Si E = {1, 2}, alors P(E) = {∅, {1}, {2},E}. Remarque - Les trois assertions x ∈ E, {x} ⊂ E et {x}∈P(E) sont équivalentes.
Le vecteur u = (x, y, z, t) appartient `a F si et seulement si Vect(v1,v2,u) = Vect(v1,v2). Appliquons la méthode précédente aux vecteurs v1,v2,u. Le vecteur u appartient `a Vect(v1,v2) si et seulement si la derni`ere colonne est nulle, autrement dit si z − y − x = 0 et t + 2y − 3x = 0.
Définition : Soit f une application de G dans G′ ; on dit que f est un (homo)morphisme de groupes si, pour tous x et y de G , on a : f(x×y)=f(x)×f(y).
Z est un anneau intègre : il est commutatif, et le produit de deux entiers relatifs est nul si et seulement si l'un de ces deux entiers est nul. l'exemple précédent montre que M2(R) M 2 ( R ) n'est pas un anneau intègre.
Un intérêt principal des matrices est qu'elles permettent d'écrire commodément les opérations habituelles de l'algèbre linéaire, avec une certaine canonicité.
Un anneau A = {0} est un corps si et seulement si il ne contient aucun idéal que les idéaux triviaux. Démonstration. Si A est un corps, tout idéal non nul contient un inversible, donc coïncide avec A. Réciproquement, soit a un élément non nul de A.
Un anneau unitaire est un triplet noté (A,+,×) indiquant qu'on a muni l'ensemble A de deux opérations (appelées addition et multiplication) qui se comportent comme celles des entiers relatifs au sens précis suivant : A muni de l'addition est un groupe abélien, la multiplication est associative, distributive par rapport ...
Plus généralement, on prouve qu'une réunion de deux sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel si et seulement si l'un des deux est inclus dans l'autre.
(Sous espace vectoriel) Soit E un espace vectoriel. On dit que F est un sous-espace vectoriel de E, si c'est un espace vectoriel et que F ⊂ E. Exemple : R2 est un sous-espace vectoriel de R3.
On se place dans R3. On considère les sous-espaces vectoriels F = 1(x,y,z) ∈ R3 | x+y+z = 0l et G = 1(x,y,z) ∈ R3 | x = 0l. F nG = R(0,1,-1). (1,1,1)=(x,y,-x-y)+(0,α,β) avec x, y, α, β réels.
Interjection. (Abréviation) Équivalent de « svp » (« s'il vous plaît »).
1. Pour montrer qu'un ensemble E est un e.v., il suffit généralement de montrer que E est un s.e.v. d'un autre e.v. bien connu (ex. : fonctions ayant une certaine propriété, matrices d'une forme particuli`ere, ...) ou une variante (u + v ∈ E et λu ∈ E, ou : λu + µv ∈ E).
Par exemple l'ensemble des entiers naturels non nuls N* est inclus dans l'ensemble des entiers naturels N, de même que l'ensemble des entiers naturels pairs 2N, mais 2N n'est pas inclus dans N* car 0 ∈ 2N, mais 0 ∉ N* : N* ⊂ N, 2N ⊂ N, 2N ⊄ N*.
L'ensemble nZ est un sous-groupe de (Z,+), en effet : – nZ ⊂ Z, – l'élément neutre 0 appartient à nZ, – pour x = kn et y = k n des éléments de nZ alors x+ y = (k+ k )n est aussi un élément de nZ, – enfin si x = kn est un élément de nZ alors −x = (−k)n est aussi un élément de nZ. n = min{h > 0 | h ∈ H}.
Cela s'appelle l'ensemble quotient de E par la relation d'équivalence congruence. Ici, E=Z, R c'est 2Z. Voilà, en espérant ne pas avoir dit de bêtise !
Une partie I de A est un idéal si (I,+) est un groupe et si, pour tout a∈A a ∈ A et tout u∈I u ∈ I , alors au∈I a u ∈ I (propriété d'absorbtion).