Si E est un espace euclidien de dimension n et B une base orthonormale de E alors, pour tous vecteurs u et v de E, de coordonnées x et y dans B, le produit scalaire 〈u, v〉 est égal au produit scalaire 〈x, y〉 dans l'espace euclidien canonique de dimension n.
En géométrie, on utilise également la notation −→x . −→y . DÉFINITION 9.2 ♥♥♥ Espace préhilbertien, Espace euclidien Un R-espace vectoriel E muni d'un produit scalaire est appelé un espace préhilbertien réel. Si de plus E est de dimension finie, on dit que E est un espace euclidien.
On définit un produit scalaire sur E en posant f(P,Q)=∫baP(x)Q(x)w(x)dx. f ( P , Q ) = ∫ a b P ( x ) Q ( x ) w ( x ) d x . $ Cet exemple donne naissance à la riche théorie des polynômes orthogonaux.
La norme usuelle dans le plan ou l'espace est dite euclidienne car elle est associée à un produit scalaire, à la base de la géométrie euclidienne. D'autres normes sont très utilisées sur les espaces vectoriels (de dimension finie ou infinie), appelés alors espaces vectoriels normés.
Définition 4.1.7. a) Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. b) Une base est orthonormée si et seulement si ses vecteurs sont de norme 1 et deux `a deux orthogonaux.
En mathématiques, une base d'un espace vectoriel V est une famille de vecteurs de V linéairement indépendants et dont tout vecteur de V est combinaison linéaire. En d'autres termes, une base de V est une famille libre de vecteurs de V qui engendre V.
Un espace vectoriel réel de dimension finie muni d'un produit scalaire est appelé espace euclidien. Si (x, y) ↦→ (x | y) est un produit scalaire sur E, la norme euclidienne d'un élément x ∈ E est x = √ (x | x).
Définition 2 (Norme euclidienne) Soit (E,< ·,· >) un espace préhilbertien. On pose pour x ∈ E, x = √< x, x >. On dit que · est la norme euclidienne associée au produit scalaire < ·,· >. De plus, si y est un autre vecteur de E, on dit que x − y est la distance euclidienne entre x et y.
Calculer la norme d'un vecteur du plan ou de l'espace, défini respectivement par les coordonnées (x,y) ou (x, y, z). La norme du vecteur est donnée dans un repère orthonormé par la formule suivante : √(x² + y²) ou √(x² + y² + z²).
Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls et représentés par des bipoints OA et OB est le nombre défini par OA ⋅ OB ⋅ cos(θ).
le produit vectoriel de deux vecteurs est nul si et seulement si ces deux vecteurs sont colinéaires.
Si le produit scalaire de deux vecteurs est nul, on dit que ces vecteurs sont orthogonaux. Pour que deux vecteurs non nuls aient un produit scalaire nul, il faut que leurs droites d'application soient perpendiculaires (ainsi, le projeté orthogonal du deuxième sur le premier est un point, de longueur nulle).
L'anneau A est euclidien pour |N| si et seulement si pour tout élément k du corps, il existe au moins un élément q de l'anneau tel que |N(k – q)| < 1. En effet, pour tous b ≠ 0, a et q dans A, |N(a – bq)| < |N(b)| équivaut (par multiplicativité de N) à |N(a/b – q)| < 1, or K est le corps des fractions de A.
En mathématiques, plus particulièrement en analyse fonctionnelle, on appelle espace de Banach un espace vectoriel normé sur un sous-corps K de ℂ (en général, K = ℝ ou ℂ), complet pour la distance issue de sa norme.
Montrer que dans la définition d'une norme N sur un espace vectoriel E, on peut remplacer l'inégalité triangulaire par la propriété “{x ∈ E; N(x) ≤ 1} est convexe”. N(λx + (1 − λ)y) ≤ N(λx) + N((1 − λ)y) = λN(x) + (1 − λ)N(y) ≤ 1 + (1 − λ)=1, donc l'élément z = λx + (1 − λ)y vérifie N(z) ≤ 1.
Dans un repère orthonormé, le produit scalaire de deux vecteurs est égal à la somme des produits de leurs composantes correspondantes. →u⊙→v=uxvx+uyvy.
La matrice d'un produit scalaire dans une base quelconque est toujours inversible. En effet, si AX = 0, alors `a fortiori t XAX = 0, c'est `a dire x2 = 0, et donc X = 0. ∀X,Y ∈ Mn1(R), t XAY = t XBY Alors A = B. Si A = Mate((|)), B = Mate((|)), P = Pe↦→f , alors B = t P AP .
Le module d'un vecteur est la longueur d'un segment orienté dans un espace déterminé par deux points et leur ordre. En d'autres termes, le module d'un vecteur est la longueur entre le début et la fin du vecteur, c'est-à-dire où la flèche commence et où elle se termine.
Pour démontrer que N1 et N2 ne sont pas deux normes équivalentes, le plus souvent on cherche une suite (xn) d'éléments de E telle que N1(xn)N2(xn)→0 ou N1(xn)N2(xn)→+∞. N 1 ( x n ) N 2 ( x n ) → 0 ou N 1 ( x n ) N 2 ( x n ) → + ∞ .
Définition : deux vecteurs x et y de E sont orthogonaux lorsque ϕ(u, v) = 0.
Deux droites de l'espace sont perpendiculaires quand elles sont sécantes et forment un angle droit. Nécessairement, cela signifie qu'elles sont sécantes et donc coplanaires. DEFINITION: deux droites de l'espace sont orthogonales quand en un point de l'espace, leurs parallèles sont perpendiculaires.
Deux droites sont orthogonales si leurs parallèles respectives passant par un même point sont perpendiculaires. Si une droite (d) est orthogonale à deux droites sécantes du plan P, alors elle est orthogonale au plan P.