Pour cela soit k un réel compris entre f(a) et f(b). On se place dans le cas où f(a) < f(b) (la démonstration est similaire dans l'autre cas : remplacer le mot minimum par le mot maximum) Posons g(x) = F(x) - kx ; g est dérivable donc continue sur [a,b], elle y admet donc un minimum, en un réel c de [a,b].
Condition suffisante d'existence d'une primitive
Si f est une fonction continue sur l'intervalle [a,b], alors f admet une primitive F définie pour tout x ∈ [ a , b ] x \in \left[a,b\right] x∈[a,b] par F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t F(x) = \int_{a}^{x}f(t)dt F(x)=∫axf(t)dt.
Toute fonction continue sur un segment admet des primitives sur ce segment.
Une fonction F est une primitive d'une autre fonction f si et seulement si la dérivée F' de la fonction F est égale à f.
Une fonction polynôme est la somme de fonctions puissance. Pour en trouver une primitive, il suffit de chercher une primitive de chacun des termes. Exemple : Soit f(x) = x2 + 2x + 1 définie sur \mathbb{R}.
soit f une fonction définie sur un intervalle I. Si on définit maintenant la fonction G sur R par : G(x)=4x+3 alors G est dérivable sur R et pour tout réel : G'(x)=f(x), donc G est aussi une primitive de f sur R .
Ainsi, toutes les primitives de f (x) = 2x sont de la forme F (x) = x2 + C (C est une constante).
Pour déterminer une primitive de x↦eaxcos(bx) x ↦ e a x cos , on commence par écrire cos(bx)=Re(eibx) ( b x ) = ℜ e ( e i b x ) et donc que eaxcos(bx)=Re(e(a+ib)x) e a x cos ( b x ) = ℜ e ( e ( a + i b ) x ) .
F'(x) = G'(x) + m = f(x). Si F est une primitive de f sur I, alors (F + k)' = F' = f, donc F + k est aussi une primitive de f sur I. Réciproquement, soit G une primitive de f sur I. Alors G' = f = F', donc G' – F' = 0, soit encore (G – F)' = 0.
Définition de la primitive. Lorsque l'on a une fonction f(x) , il existe toujours une autre fonction F(x) , telle que si je la dérive donc F'(x) elle me donne la fonction f(x). D'autant il n'existe pas une seule fonction mais au contraire une infinité. Qu'est ce qu'une Primitive.
La différence entre primitive et intégrale est qu'une primitive est une fonction tandis qu'une intégrale est un réel exprimé comme une aire algébrique (pouvant être négatif).
Définition intuitive : Une fonction est continue sur un intervalle, si sa courbe représentative peut se tracer sans lever le crayon.
Soit I un intervalle de R et f:I→R f : I → R . On dit que f est uniformément continue si ∀ε>0, ∃η>0, ∀(x,y)∈I2, |x−y|<η⟹|f(x)−f(y)|<ε.
Intégrale et primitives
L'intégrale de la fonction nulle est nulle sur tout intervalle inclus dans l'ensemble des réels ; les primitives de la fonction nulle (sur ℝ) sont donc les fonctions constantes.
On appelle fonction logarithme népérien, noté ln (ou ), la primitive définie sur ,de la fonction x ↦ 1 x s'annulant pour . Pour : ln x > 0 est l'aire limitée par la courbe représentative y = 1 / t , l'axe et les droites d'équations et .
Le concept d'intégrale a été raffiné depuis son introduction au XVII e siècle par Leibniz et Newton, permettant ainsi de les calculer pour des fonctions de moins en moins régulières. On rencontre ainsi aujourd'hui les intégrales dites de Riemann, de Lebesgue ou de Kurzweil-Henstock.
f(t)dt. Lorsqu'on trouve une primitive d'une fonction f dans une table, ou qu'elle se déduit des tables à partir de quelques calculs algébriques, il n'y a rien d'autre à faire : L'intégrale est donnée par la Formule de Newton-Leibniz. (e2x + sin(x))dx.
Soit la fonction f définie par f(x) = si x ≠ 0, et f(0) = 1. Donc la fonction f est continue en 0.
a) La fonction f admet une limite en x0 (c'est-`a-dire, f est continue en x0) si et seulement si elle admet f(x0) comme limite `a droite et `a gauche en x0. b) Si f admet des limites distinctes `a droite et `a gauche en x0, alors f n'admet pas de limite en x0.
Une fonction f:I→R f : I → R est donc dérivable en a si et seulement s'il existe α∈R α ∈ R et une fonction ε définie dans un intervalle J ouvert contenant 0 , vérifiant limh→0ε(h)=0 lim h → 0 ε ( h ) = 0 tels que ∀h∈J, f(a+h)=f(a)+αh+hε(h).
Ainsi, il suffit de dire que en dehors de ces réels 0 et 1 (c'est à dire en tout réel distinct de 0 et de 1) la fonction est bien continue (car ce sont des fonctions "usuelles"). Ensuite, il suffit de savoir si en 0, à gauche, la fonction admet une limite et si c'est la même que celle en 0, à droite (si elle existe).
On détermine la limite d'une fonction définie par morceaux à la frontière entre les deux morceaux. Ici les limites à droite et à gauche ne sont pas égales, et donc la limite cherchée n'existe pas.
L'existence d'une intégrale peut être justifiée à l'aide de plusieurs théorèmes mathématiques tels que le théorème de convergence monotone et le théorème de convergence dominée. Ces théorèmes garantissent l'existence de l'intégrale sous certaines conditions.
L'intégrale est utilisée pour calculer l'aire située sous une fonction. Cette technique est très utilisée en architecture mais aussi en probabilités continues ou même pour la construction des autoroutes.