Proposition : S une fonction f , définie ena, admet une limite finiel ena, alors l= f (a). On dit alors que f est continue ena. Propriété : Si f admet une limite finie ena, alors il existe un voisinage de a dans le quel f est bornée.
Définition (limite finie à l'infini)
Soit une fonction f définie sur Df telle qu'il existe un réel a pour lequel [a;+∞[ est inclus dans Df. Soit ℓ∈R. Dire que f a pour limite ℓ, quand x tend vers +∞ signifie que, quel que soit ϵ>0, il existe m⩾a tel que, pour tout x∈Df, si x>m, alors ∣f(x)−ℓ∣<ε.
On dit que la fonction f admet la limite L en a si pour tout voisinage V de L, il existe un voisinage U (à gauche ou à droite) de a tel que f(U) ⊂ V.
Lorsque x tend vers 0, y tend vers +∞, et on a donc: limx→0cos(1x2)=limy→+∞cos(y), or la fonction cosinus ne possède pas de limite en +∞ car elle est périodique : cos(1x2) n'admet donc pas de limite en 0.
Une suite non bornée n'admet pas forcément +∞ ou −∞ pour limite. La suite de terme général (−1)nn, par exemple, n'est pas bornée et n'a pas de limite — que dire en effet de ses termes d'indice pair/impair ?
Une suite finie est une famille indexée par les entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à un certain entier, ce dernier étant appelé « longueur » de la suite.
Suite tendant vers + l'infini
Soit une suite réelle ; on dit que tend vers quand tend vers si quelque soit le réel il existe un entier tel que n ≥ N entraîne u n > A .
Il est important de se rappeler que cette limite n'existe toujours pas puisque l'infini n'est pas un nombre. Par conséquent, nous pouvons conclure que la limite lorsque ? tend vers deux de un sur valeur absolue de ? moins deux n'existe pas. Mais la limite est égale à l'infini.
Comment calculer une limite ? Pour calculer une limite d'une fonction , remplacer la variable par la valeur vers laquelle elle tend/approche (au voisinage proche de).
Si f(x) = 4-2x, si x > 2 tu as f(x) < 0, donc la limite est 0-. Certainement pas, la réponse est ±∞. Le numérateur tend vers quelque chose de strictement positif, et le dénominateur tend vers 0+ ou 0-, donc la limite sera infinie (le signe est déterminé par la règle des signes). donc pour x<2 soit 2- on trouve 0+ ?
Déjà une limite peut se calculer pour tous les x, c'est-à-dire que le x peut tendre vers -∞, -9, 4, ½, π, 0, +∞, etc… En gros, pour calculer une limite, on remplace le x dans la fonction par vers quoi il tend.
Si f est dérivable en a alors la fonction f est continue en a. Si f est dérivable sur un intervalle I alors la fonction f est continue sur I. Remarque : La réciproque de ce théorème est fausse. Pour s'en rendre compte, on peut s'appuyer sur une représentation graphique.
Une fonction à valeurs dans [0,+∞] est dite finie si elle ne prend jamais la valeur +∞.
Autrement dit, calculer la limite d'une fonction quand x tend vers a, ça veut dire regarder vers quelles valeurs tend la fonction quand les valeurs de x se rapprochent de a. Note bien qu'on peut se rapprocher d'un réel a par la gauche ou par la droite.
En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. En première approche, une fonction f est continue si, à des variations infinitésimales de la variable x, correspondent des variations infinitésimales de la valeur f(x).
L'équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à 0 , l'argument d'une racine carrée est inférieur à 0 ou l'argument d'un logarithme est inférieur ou égal à 0 .
On effectue souvent des limites quand x tend vers l'infini, c'est à dire qu'on prend x le plus grand possible et l'on cherche la valeur qu'atteint f(x). Lorsque la limite en a est un nombre l réel, on dit que la limite est finie. A l'inverse si la limite en a de f est +∞ ou -∞ alors f n'admet pas de limite finie.
En mathématique, le mot infini employé seul n'a pas de sens. Il est cependant possible de définir des expressions comme ensemble infini, plus l'infini (noté +∞), moins l'infini (noté −∞), etc.
La notion naturelle de convergence pour une suite de fonctions (fn) est celle que l'on a vue pour les courbes représentatives. On veut pouvoir dire que la suite de fonctions (fn) converge vers f lorsque la courbe représentative de la fonction fn se rapproche, quand n tend vers l'infini, de celle de f.
On dit qu'une suite un converge vers un réel L si pour tout intervalle ouvert U contenant L, tous les termes de la suite appartiennent à U sauf un nombre fini. L est la limite de la suite un et elle est unique. Une suite est divergente si elle n'est pas convergente.
Tu dois savoir qu'il y a 2 types de suites que l'on utilise souvent : les suites géométriques et les suites arithmétiques. Une suite arithmétique, c'est quand on fait « +r » à chaque nouveau terme, avec r qui est un réel.
Il suffit de considérer la suite géométrique de raison z ∈ C avec |z| > 1 pour s'en convaincre. Définition 3 Soit (zn)n ∈ CN. On dit que (zn)n converge vers l ∈ C si ∀ϵ > 0, ∃nϵ ∈ N, ∀n ≥ nϵ, |zn − l| < ϵ. un = l et l est appelée la limite de la suite (zn)n.
Avec des quantificateurs, la propriété lim un = l se traduit par ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ≥ n0, l − ε ≤ un ≤ l + ε. On peut aussi remplacer l − ε ≤ un ≤ l + ε par |un − l| ≤ ε.