Pour savoir si la droite (MN) est incluse dans le plan (ABC): On regarde si le point M appartient au plan (ABC) en appliquant la méthode "A appartient à un plan". Puis on refait pareil avec le point N. Si les 2 points M et N appartiennent au plan (ABC), alors la droite (MN) est incluse dans le plan (ABC).
Propriété: si deux droites sont parallèles à une même troisièmes alors elles sont parallèles entre elles. Une droite appartient à un plan si chacun des ses points appartiennent à ce plan. Pour montrer qu'une droite appartient un plan il suffit de montrer que deux points de cette droite appartient au plan.
On rappelle que trois points A, B et C définissent un plan si et seulement s'ils ne sont pas alignés. Les trois points A, B et C définissent un plan si et seulement s'ils ne sont pas alignés.
Remarque : un plan admet une infinité de représentations paramétriques. Il suffit de prendre un vecteur colinéaire à pour obtenir une autre représentation paramétrique. Une équation paramétrique du plan P passant par A (1 ; 2 ; 3) et de vecteurs directeurs (1 ; 0 ; 1) et (1 ; 2 ; 5) est avec t et t' ∈ .
Définition 1 : Un plan est défini par trois points non-alignés. Autrement dit, soit trois points A, B et C non-alignés. Ces trois points définissent un plan que l'on appellera (ABC). Définition 2 : Si une droite (D) contient deux points A et B d'un plan (P), alors cette droite est incluse dans ce plan.
Commençons toujours par rappeler qu'un point M(x; y) appartient à une droite si et seulement si ses coordonnées vérifient une équation de la droite. Les points A et B appartiennent à la droite si et seulement si leurs coordonnées vérifient l'équation 2x - y + 1 = 0.
3 points A, B, C sont alignés ⇔ →AB et →AC sont colinéaires. Dans la pratique, pour savoir si A, B, C sont alignés: on regarde si →AB et →AC sont colinéaires, à l'aide de la méthode "vecteurs colinéaires". Si →AB et →AC sont colinéaires, alors les points A, B, C sont alignés.
Définition de colinéaire adjectif
Mathématiques Vecteurs colinéaires, qui ont la même direction.
L'équation cartésienne d'un plan est du type ax + by + cz + d = 0 avec (a ;b ;c) les coordonnées d'un vecteur normal du plan . On procède en deux étapes : D'abord déterminer un vecteur normal au plan Ensuite déterminer d . une valeur pour cette variable et on en déduit les deux autres .
Intersection d'une droite et d'un plan
Il est clair que l'intersection est obtenue en résolvant un système de 3 équations à 3 inconnues. Soit la droite D donnée par { u x + v y + w z = d u ′ x + v ′ y + w ′ z = d ′ et le plan P donné par { x = a + λ u 1 + μ u 2 y = b + λ v 1 + μ v 2 z = c + λ w 1 + μ w 2 .
Si la droite est écrite sous forme réduite (soit y=ax+b y = a x + b ), le vecteur →u(1;a) u → ( 1 ; a ) fait l'affaire. Si son équation apparaît sous forme cartésienne, on prend →u(−β;α) u → ( − β ; α ) ou →u(β;−α) u → ( β ; − α ) . Si cette droite passe par un point A , on peut alors l'écrire D(A;→u) D ( A ; u → ) .
On place l'abscisse du point A dans l'équation de la droite, et on conclut : Si l'on obtient bien l'ordonnée de A, alors A appartient à la droite. Si l'on obtient un nombre différent de l'ordonnée de A, alors A n'appartient pas à la droite.
On dit qu'un point A appartient à la droite (d) si la droite (d) passe par le point A. On dit qu'un point B n'appartient pas à la droite (d) si la droite (d) ne passe pas par le point B.
Si on a une fonction et qu'on cherche les coordonnées d'un point de sa courbe représentative : on choisit une valeur de x et on calcule y = f(x) en remplaçant x dans l'expression f(x) donnée. On obtient ainsi les coordonnées ( x ; y = f(x) ) d'un point de la représentation graphique de la fonction f.
On dit que deux vecteurs sont colinéaires si, en multipliant les composantes de l'un des vecteurs par un scalaire k (constante), on obtient les composantes de l'autre vecteur. Donc, si le vecteur →u est colinéaire au vecteur →v , alors il existe un scalaire k tel que →u=k→v u → = k v → .
On se place dans le plan muni d'un repère orthonormé . Soient A(xA ; yA), B(xB ; yB) et C(xC ; yC) trois points du plan, avec xA ≠ xB et xA ≠ xC. Dire que trois points A, B et C sont alignés signifie qu'ils appartiennent à une même droite.
alignés (points -) (2) : Deux points (ou moins) sont toujours alignés. Trois points non alignés définissent un plan de l'espace. A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires.
Un repère de l'espace est un quadruplet formé : - d'un point O appelé origine du repère, - d'un triplet de vecteurs non coplanaires. Si les vecteurs sont deux à deux orthogonaux, le repère est dit orthogonal.
Pour se repérer dans l'espace, on utilise un repère orthogonal composé d'une origine O et de trois axes où chacun est perpendiculaire aux deux autres. Un point A de l'espace a trois coordonnées : son abscisse a, son ordonnée b et son altitude c. On note A(a ; b, c).
Si les axes (OI) et (OJ) sont perpendiculaires, alors est un repère orthogonal. Si les axes (OI) et (OJ) sont perpendiculaires, et qu'en plus OI = OJ alors est un repère orthonormal (ou orthonormé).
Pour déterminer le point d'intersection des droites (D1) et (D2), on résout l'équation ax+b=a'x+b' et on détermine x. On déduit de x, la valeur de y.
Une équation cartésienne de droite est une équation de la forme ax+by+c=0. Remarque : Il existe une infinité d'équations cartésiennes d'une même droite. Propriété : Si une droite a pour équation cartésienne ax+by+c=0 alors un vecteur directeur de cette droite a pour coordonnées (−b;a).
Le coefficient directeur d'une droite (AB) non parallèle à l'axe des ordonnées est égal à xB−xAyB−yA.