Démonstration. Soit (un)n∈N une suite de Cauchy et soit N ∈ N tel que |un − uN | < 1 pour tout n ≥ N. Ainsi, pour tout n ≥ N on a |un| < 1 + |uN |. On en déduit que la suite (un)n∈N est bornée par max{|u0|,|u1|,...,|uN−1|,|uN | + 1}.
Définition : Soit une suite réelle; on dit que est une suite de Cauchy ou vérifie le critère de Cauchy si : quel que soit , il existe un entier tel que les inégalités p ≥ N et n ≥ N entraînent | u p − u n | < ϵ .
Toute suite convergente est par conséquent bornée (par exemple la suite un = (–1)n/(n + 1), qui converge vers 0, reste comprise entre u1 = –1/2 et u0 = 1). Toute suite réelle qui tend vers ±∞ est non bornée (par exemple : un = 2n, qui tend vers +∞).
Toute suite de Cauchy est bornée. Une suite de Cauchy a au plus une valeur d'adhérence et si elle en a une, alors elle converge. Toute sous-suite d'une suite de Cauchy est, elle-même, une suite de Cauchy. Toute suite de Cauchy admettant une sous-suite convergente est convergente.
On remarque, ici encore, que la différence entre deux termes consécutifs S n + 1 − S n = 1 n + 1 tend, elle, vers 0, alors que la suite n'est pas de Cauchy.
La règle de Cauchy n'est bien adaptée qu'à l'étude des séries dont le terme général contient essentiellement des puissances. On a : u n n = ( n n + 1 ) n = 1 ( 1 + 1 n ) n . On en déduit : lim n → + ∞ u n n = 1 e < 1 . La série est convergente.
En mathématiques, la suite de Fibonacci est une suite de nombres entiers dont chaque terme successif représente la somme des deux termes précédents, et qui commence par 0 puis 1. Ainsi, les dix premiers termes qui la composent sont 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 et 34.
* Si (un) est croissante et majorée alors (un) converge. La suite « monte » mais est bloquée par « un mur » donc elle possède une limite finie. * Si (un) est décroissante et minorée alors (un) converge. La suite « descend » mais est bloquée par « un mur » donc elle possède une limite finie.
Pour démontrer qu'une suite (un) est divergente, on peut trouver deux suites extraites de (un) qui convergent vers des valeurs différentes; on peut la minorer par une suite tendant vers +∞ .
Théorème : R , C sont des espaces métriques complets. Une partie A de E est complète si l'espace métrique induit (A,d) est complet. Proposition : Si E est un espace métrique complet et A⊂E A ⊂ E , alors A est complet si et seulement si A est fermé.
On récite le cours : une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée. On en conclut donc que la suite est bornée. \left(u_n\right) est à la fois majorée par 1 et minorée par 0.
Il existe des suites convergentes qui ne sont ni croissantes majorées, ni décroissantes minorées. On dira qu'une suite réelle ou complexe (un) est bornée si il existe M telle que ∀n ∈ N, |un| < M.
On dit qu'une suite réelle diverge si elle ne converge pas. Une suite divergente peut soit avoir une limite infinie, soit n'avoir aucune limite.
On peut se retrouver dans plusieurs cas : Si la suite a une infinité de pics, alors la suite des pics forme une sous-suite décroissante. Sinon, on peut construire une sous-suite croissante. On prend comme premier terme un terme d'indice supérieur à tous les pics, puis un terme d'indice encore supérieur, etc.
Une suite géométrique est une suite telle que chaque terme se déduit du précédent par la multiplication par un réel constant (également appelé la raison de la suite). Pour montrer qu'une suite (Vn) est géométrique, on montre qu'il existe un réel q constant tel que, pour tout entier n, V_{n + 1} = q \times V_n.
On dit qu'une suite un converge vers un réel L si pour tout intervalle ouvert U contenant L, tous les termes de la suite appartiennent à U sauf un nombre fini. L est la limite de la suite un et elle est unique. Une suite est divergente si elle n'est pas convergente.
La notion naturelle de convergence pour une suite de fonctions (fn) est celle que l'on a vue pour les courbes représentatives. On veut pouvoir dire que la suite de fonctions (fn) converge vers f lorsque la courbe représentative de la fonction fn se rapproche, quand n tend vers l'infini, de celle de f.
Si la suite est croissante et majorée, elle converge. Si la suite est décroissante et minorée, elle converge.
Énoncé Théorème des suites adjacentes — Soient (an) et (bn) deux suites adjacentes. Alors ces deux suites sont convergentes et ont la même limite ℓ ∈ ℝ. De plus, pour tout entier naturel n, an ≤ ℓ ≤ bn (où (an) est croissante et (bn) décroissante).
(un) est bien définie si ∀n, un+1 ≥ 0, c'est `a dire si un ≥ −1. Pour tout choix de u0 ∈ [−1, +∞[, on aura alors ∀n ≥ 1,un ≥ 0 (récurrence immédiate), et donc la suite sera bien définie.
L'Équation de Navier-Stoke.
Pour autant, un mystère demeure : selon l'œuvre de Douglas Adams, le nombre 42 serait la réponse à « la grande question sur la vie, l'univers et le reste ».
Le nombre d'or, aussi appelé ratio d'or, est un concept mathématique qui donne le nombre irrationnel phi ou Φ, qui équivaut approximativement à 1,618. Il provient de la séquence de Fibonacci, qui est une série de nombres dans laquelle le nombre suivant est la somme des deux nombres précédents.
Pour une série à termes réels ou complexes, exprimer que la suite des sommes partielles satisfait à la condition de Cauchy constitue une condition nécessaire et suffisante de convergence.