Pour décomposer un nombre en produits de nombres premiers, il faut trouver tous les nombres premiers qui divisent ce nombre. Pratiquement on part du plus petit (2) et on cherche les différents diviseurs jusqu'à obtenir 1. 5 | 5 5 est un nombre premier. 1 La décomposition est finie car le résultat est 1.
Décomposition d'un nombre en produits de facteurs premiers
On divise le nombre à décomposer autant de fois que possible par 2, puis par 3, par 5, par 7, par 11… en suivant la liste des nombres premiers successifs.
Décomposer les nombres par rangs
Chaque chiffre possède son propre rang, que l'on identifie facilement à l'aide du tableau de numération. Les chiffres de 648 et 237 appartiennent chacun à un rang. La 1ère étape est de décomposer chaque nombre en une addition de ses différents rangs. 648 est décomposé en 600 + 40 + 8.
126 = 2 × 63 = 2 × 2 × 6 75 = 3 × 25 = 2 × 2 × 2 × 3 63 n'est pas divisible par 2. 25 n'est pas divisible par 3. 3 est un nombre premier. On poursuit donc avec 5 (car 4 n'est pas premier) On poursuit donc avec 3.
24 = 2 3 × 3 1 .
Le nombre 588 peut se décomposer sous la forme 588 = 2² × 3 × 7².
84= 1 × 84 = 2 × 42 = 4 × 21 = 6 × 14 = 7 × 12 Les diviseurs de 84 sont 1 ; 2 ; 4 ; 6 ; 7 ; 12 ; 14 ; 21 ; 42 ; 84 5.
La décomposition en facteurs premiers de 140 est : 140 = 2×2×5×7. La décomposition en facteurs premiers de 870 est : 870 = 2×3×5×29.
Il lui faut donc marquer cette fois 9 points car : 25 = 6 + 10 + 9. Pour ne pas se tromper dans les calculs quand on veut décomposer un nombre compris entre 21 et 29, on peut s'aider de petits bouts de bois, de bonbons ou de petits morceaux de papier.
70 = 35 + 35. 75 = 25 + 25 + 25.
La factorisation première de 60 est 22 × 3 × 5. Les branches terminales révèlent la décomposition en facteurs premiers du nombre 60, soit : 60 = 2² × 3 × 5.
Le nombre 36 peut être donc décomposé en produit de facteurs premiers 2, 2, 3, 3.
Exemple : Au final, les facteurs 3,7,7 3 , 7 , 7 sont obtenus et 3∗7∗7=147 3 ∗ 7 ∗ 7 = 147 , qui s'écrit aussi 147=3∗72 147 = 3 ∗ 7 2 .
21 + 21 + 21 = 63 est une écriture du nombre 63 avec des additions, c'est-à-dire que l'on a ajouté des nombres entre eux pour obtenir 63. On parle aussi de décomposition du nombre.
Exemple 1 Rendre irréductible la fraction . On décompose 68 et 51 en produits de facteurs premiers. 68 = 2 × 34 = 2 × 2 × 17 = 2 × 17 et 51 = 3 × 17.
Décomposer en produit de facteurs premiers
On décompose 120 en produit de facteurs premiers : 120 est divisible par 2 donc 120= 2\times 60. 60 est divisible par 2 donc 60= 2\times 30.
900 a des facteurs de 2 et 450 . 450 a des facteurs de 2 et 225 . 225 a des facteurs de 3 et 75 . 75 a des facteurs de 3 et 25 .
75 = 3 * 5 * 5 75 = 3 * 52. Décomposer 80 en produit de facteurs premiers: 80 = 2 * 2 * 2 * 2 * 5 = 24 * 5.
Tout nombre entier peut se décomposer de manière unique sous la forme d'un produit de facteurs premiers. Exemple : décomposer 780 en produit de facteurs premiers. Donc 780 = 2 × 2 × 3 × 5 × 13 = 2² × 3 × 5 × 13.
On peut décomposer son numérateur et son dénominateur en produits de nombres premiers : 840 = 23 × 3 × 5 × 7 et 1 155 = 3 × 5 × 7 × 11.
174 a des facteurs de 2 et 87 .