Factoriser, c'est transformer une somme ou une différence en un produit. En effectuant une lecture de droite vers la gauche des formules de distributivité, on a : k × a + k × b = k × (a + b). k × a − k × b = k × (a − b).
On sait que 99 = 100 − 1 ; on utilise ensuite la distributivité : 25 × 99 = 25 × 100 − 25 × 1. Attention, 25 × 100 − 1 = 2 500 − 1 (la multiplication est prioritaire sur la soustraction).
Pour factoriser, on utilisera les mêmes formules, mais dans le sens inverse : (a+b)² = a² + 2ab + b² (a-b)² = a² - 2ab +b² (a+b)(a-b) = a²-b²
Pour factoriser une somme, il faut repérer le facteur commun aux différents termes de la somme. A : le facteur commun est x ; si l'on développe x(x − 5), on retrouve bien x2 − 5x. B : le facteur commun est 2x ; si l'on développe 2x(x − 3 + y), on retrouve bien 2x2− 6x + 2xy.
Pour obtenir la factorisation première de 30 , on devra factoriser le nombre 6 . 30=5×6⇒30=5×2×3 30 = 5 × 6 ⇒ 30 = 5 × 2 × 3 Cette nouvelle factorisation est première, car tous les facteurs sont premiers. Comme il est mentionné dans l'encadré Important ci-haut, cette factorisation est unique.
Factoriser une expression numérique ou littérale, c'est l'écrire sous la forme d'un produit. L'expression (3x – 7)(2x + 4) est factorisée car elle n'est composée que d'un seul terme qui comporte deux facteurs. Les expressions possèdent deux termes (séparés par un + ou un – ) comportant chacun deux facteurs.
Les trois méthodes de factorisation qu'il faut connaître sont : la mise en évidence, les produits (identités) remarquables et le groupement de termes.
Si on développe le produit (a+b)(a-b), on obtient a²-b². Donc quels que soient a et b, a²-b² = (a+b)(a-b). Factoriser une somme ou une différence c'est l'écrire sous forme d'un produit.
Petite astuce vous pouvez trouver le facteur commun entre 32 et 16 en divisant le plus gros membre par le plus petit -> 32/16 = 2 donc on peut prendre 16 pour facteur commun. Pour "x" il y aura un seul 16 (1x16=16) , et pour "y" il y en aura deux ( 2x16=32).
En mathématiques, plus précisément en arithmétique et en algèbre générale, la distributivité d'une opération par rapport à une autre est une généralisation de la propriété élémentaire : « le produit d'une somme est égal à la somme des produits ».
Distributivité simple
La multiplication est distributive par rapport à l'addition, c'est-à-dire que : k × (a + b) = k × a + k × b pour tous les nombres k, a et b.
La règle mathématique qui permet de décomposer une multiplication s'appelle la distributivité. Voici cette règle : on ne change pas le résultat d'une multiplication si on réécrit l'un des facteurs sous la forme de la somme de deux nombres.
1 Décomposer en facteurs son numérateur et son dénominateur. 2 Trouver son domaine. 3 Déterminer les facteurs communs au numérateur et au dénominateur. 4 Diviser le numérateur et le dénominateur par ces facteurs communs.
Factoriser une expression littérale, c'est transformer une somme ou une différence en un produit, c'est l'inverse du développement. A = 5 × ( x + 3 ) On écrit entre parenthèses les deux autres facteurs. Si les produits ne sont pas apparents, il faut les faire apparaître.
Développer c'est transformer un produit en somme. Factoriser c'est transformer une somme en produit en faisant apparaître son facteur commun. Réduire c'est effectuer dans une expression littérales des calculs possibles. On peut utiliser la distributivé de la multiplication.
Réécrivez 36 comme 62 . Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l'aide de la formule de la différence des carrés, a2−b2=(a+b)(a−b) a 2 - b 2 = ( a + b ) ( a - b ) où a=x et b=6 .
L'identité a^3 - b^3 = (a - b)(a² + ab + b²).
a2 - b2 = (a - b) (a + b)
L'aire du rectangle allongé est donc égale à la différence des aires de côtés a et b.
🔹 Pour simplifier une écriture on peut supprimer le signe * devant une lettre ou une parenthèse. 3 * ( 5 * a ) = 3( 5a ) (on pourra écrire ensuite ... = 15a ! ) 🔹 Pour simplifier une écriture dans un produit on peut changer l'ordre des facteurs et les regrouper différemment.
Propriété Soit f ( x ) = a x 2 + b x + c où a ≠ 0 un polynôme du second degré et Δ = b 2 − 4 a c son discriminant. Si : se factorise sous la forme f ( x ) = a ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) où et sont les deux racines du polynôme.
Pour factoriser une expression de la forme a²+2ab+b², on utilise l'identité remarquable (a+b)². Par exemple, x²+10x+25 peut être écrit sous la forme (x+5)². Cette méthode est basée sur la reconnaissance de l'identité remarquable (a+b)²=a²+2ab+b² (qu'on peut toujours vérifier en développant le produit (a+b)(a+b)).
Factoriser une expression numérique ou littérale, c'est l'écrire sous la forme d'un produit. Exemples d'expressions non factorisées : Les expressions possèdent deux termes (séparés par un + ou un – ) comportant chacun deux facteurs.
Si un polynôme P de degré 3 admet une racine réelle α , alors ce polynôme est factorisable par (x −α). on a alors : P(x) = (x −α)×Q(x) où Q(x) est un polynôme de degré 2. Utilisation : Le polynôme P(x) = x3 −4x2 −7x +10 admet comme racine évidente le nombre 1.
Factoriser une expression littérale ou numérique, c'est transformer une somme ou une différence en un produit, c'est l'inverse du développement. A = 5 × ( x + 3 ) On écrit entre parenthèses les deux autres facteurs. Si les produits ne sont pas apparents, il faut les faire apparaître.