Soit ( O , ı → , ȷ → ) un repère du plan et une droite d'équation a x + b y = c , où , et sont des nombres réels donnés. Alors les vecteurs u → ( − b a ) et u ′ → ( b − a ) et tout vecteur qui leur est colinéaire, sont des vecteurs directeurs de la droite .
Un vecteur directeur de (D) a pour coordonnées (a;b;c), ce sont les coefficient devant t. Deux vecteurs directeurs au plan P ont pour coordonnées (−b;a;0) ou (b;−a;0), car ils vérifient l'équation cartésienne. Le vecteur normal au plan P a pour coordonnées (a;b;c), ce sont les coefficients de l'équation cartésienne.
(xB - xA ; yB - yA) est l'un des vecteurs directeurs de cette droite. Si une droite a pour équation réduite y =ax + b alors il suffit de déterminer deux points de cette droite pour trouver un vecteur unitaire.
On appelle vecteur directeur de D tout vecteur non nul u ! qui possède la même direction que la droite D. ( )≠ 0;0 ( ). Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite D.
2- Coordonnées du vecteur défini par deux points
Dans le plan muni du repère (O,I,J) on considère les points A(xA, yA) et B(xB, yB). Les coodonnées du vecteur AB sont (xB – xA, yB – yA).
Il est facile de déterminer un vecteur directeur. Si la droite est écrite sous forme réduite (soit y=ax+b y = a x + b ), le vecteur →u(1;a) u → ( 1 ; a ) fait l'affaire. Si son équation apparaît sous forme cartésienne, on prend →u(−β;α) u → ( − β ; α ) ou →u(β;−α) u → ( β ; − α ) .
La direction du vecteur est celle de la 'droite' dans laquelle est inclus le vecteur, le sens est donné par l'orientation du segment: 'vers la gauche' ou bien 'vers la droite', la norme correspond à la longueur du segment.
On dit que deux vecteurs sont colinéaires si, en multipliant les composantes de l'un des vecteurs par un scalaire k (constante), on obtient les composantes de l'autre vecteur. Donc, si le vecteur →u est colinéaire au vecteur →v , alors il existe un scalaire k tel que →u=k→v u → = k v → .
On appelle vecteur normal de (P) tout vecteur (non nul) orthogonal à tous les vecteurs directeurs du plan. Généralement, on peut obtenir un vecteur normal de deux façons différentes : en faisant le produit vectoriel de deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan; à partir d'une équation cartésienne du plan.
Un vecteur directeur de la tangente (vecteur tangent) est donc u(f '(to),g'(to)). Cas singuliers : si f '(t) est non nul, la pente de la tangente est m = g'(t)/f '(t), celle de la normale (n) sera -1/m si m est non nul, donc si g'(t) distinct de zéro.
On trace une flèche issue du premier point jusqu'au deuxième point. On trace une flèche issue du premier point jusqu'au deuxième point. On nomme le représentant du nom du vecteur.
Dans un repère du plan, on a besoin de deux nombres pour indiquer la position d'un point : ce sont ses coordonnées. La première coordonnée, l' abscisse, se lit sur l'axe horizontal (l'axe des abscisses) ; la seconde, l' ordonnée, se lit sur l'axe vertical (l'axe des ordonnées).
On distingue trois types de vecteurs: vecteurs libres, glissants et liés.
Une direction, c'est l'ensemble de toutes les droites parallèles à l'une d'elles. Une droite indique une direction. Le sens sert à orienter.
Un vecteur est un quantité physique qui est spécifié par avec une grandeur, une direction et un sens. Un scalaire est une quantité physique qui n'est spécifié que par sa grandeur. On peut l'exprimer avec un nombre, suivi ou non d'une unité (1 kg, 30 sec, 3 °C, ...).
Une équation de droite se présente sous la forme : y = ax + b avec a le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine. Ici b = 2, car la droite coupe l'axe des ordonnées au point 2. Pour déterminer a, il suffit de se placer sur le point correspondant à l'ordonnée à l'origine (b).
Quel est le coefficient directeur d'une droite horizontale ? Si une droite est horizontale alors son coefficient directeur est 0 . C'est parfois le cas d'une tangeante ou d'une asymptote.
Pour indiquer les coordonnées du vecteur , on utilise la notation ou . On considère deux points A(xA ; yA) et B(xB ; yB). Le vecteur a pour coordonnées (xB – xA ; yB – yA ). Soient (x ; y) et (x' ; y') deux vecteurs du plan muni d'une base orthonormée ( , ).
On considère le vecteur →u placé en n'importe quel point du plan. On place le vecteur →v à l'extrémité du vecteur →u. Les deux vecteurs forment alors les côtés d'un parallélogramme dont la diagonale partant de l'origine de →u et arrivant à l'extrémité de →v est le vecteur somme →u+→v. →u+→v=(ux+vx,uy+vy,uz+vz).
Les coordonnées d'un vecteur v de notre espace vectoriel favori R2 dans une base (i,j) sont deux nombres x et y qui vérifient l'équation caractéristique des coordonnées : v = xi + yj. La recherche des coordonnées est donc un probl`eme de décomposition linéaire.