La largeur de l'intervalle est I2 − I1 (une variable aléatoire). L'évaluation de l'erreur d'estimation est habituellement fournie en donnant un intervalle de confiance (IC) pour µ. [I1, I2] est un IC de niveau 1 − α (ou `a 100(1 − α)%) pour µ si P[I1 ≤ µ ≤ I2]=1 − α.
Méthode Comment trouver le nombre d'intervalles sur une ligne fermée ? Sur des lignes fermées, le nombre d'intervalles (I) est égal au nombre d'objets (O). I = O.
Sur une ligne ouverte sans objet aux extrémités, le nombre d'intervalles est égal au nombre d'objets + 1.
Pour un sondage de N personnes ayant pour résultat la fréquence f et la probabilité pp alors l'intervalle de confiance à 95% se calcule de la façon suivant : [p−1.96√f(1−p)/√n,p+1.96√p(1−p)/√n].
L'intervalle de 99,9% de confiance donnera la plus large gamme de tous les intervalles de confiance. Le calculateur d'intervalle de confiance calcule l'intervalle de confiance en prenant l'écart-type et en le divisant par la racine carrée de la taille de l'échantillon, selon la formule σ x = σ /√n.
Contrairement à l'étendue et à l'écart interquartile, la variance est une mesure qui permet de tenir compte de la dispersion de toutes les valeurs d'un ensemble de données. C'est la mesure de dispersion la plus couramment utilisée, de même que l'écart-type, qui correspond à la racine carrée de la variance.
L'écart-type sert à mesurer la dispersion, ou l'étalement, d'un ensemble de valeurs autour de leur moyenne. Plus l'écart-type est faible, plus la population est homogène.
Comment calculer facilement l'écart type à la main
Le premier membre représente la somme des carrés de chaque mesure. Le second membre correspond au total de toutes le mesures. Ce total est élevé au carré puis divisé par le nombre de mesures.
Intervalles de ℝ
Initialement, on appelle intervalle réel un ensemble de nombres délimité par deux nombres réels constituant une borne inférieure et une borne supérieure. Un intervalle contient tous les nombres réels compris entre ces deux bornes.
Définition 1 : Un intervalle de R est l'ensemble de tous les nombres réels compris entre deux réels a et b où a et inférieur à b. Remarque 1 : Selon que l'on prenne (ou non) le nombre a, on dira que l'intervalle est fermé (ouvert) du côté de a.
a) Lorsque le crochet entour le nombre, on dit qu'il est fermé, dans le cas contraire on dit qu'il est ouvert. Par exemple, [2;3[ est fermé en 2 (mais ouvert en 3), cela veut dire qu'il contient 2 mais pas 3 ! ] 2;3] est fermé en 3 (mais ouvert en 2), cela veut dire qu'il contient 3 mais pas 2.
On désigne les intervalles par les noms de seconde, tierce, quarte, quinte, sixte, septième, octave, selon qu'ils contiennent 2, 3, 4, 5, 6, 7 ou 8 degrés différents. On dit “degrés” dans l'échelle diatonique, pour exprimer les sept sons de la gamme telle qu'on la connaît (do, ré, mi, fa sol, la, si).
Différents estimateurs de l'écart type sont généralement utilisés. La plupart de ces estimateurs s'expriment par la formule : Sn – 1 (ou S′ ) est l'estimateur le plus utilisé, mais certains auteurs recommandent d'utiliser Sn (ou S).
Il est généralement exprimé en pourcentage. Sans unité, il permet la comparaison de distributions de valeurs dont les échelles de mesure ne sont pas comparables. Lorsque l'on dispose de valeurs estimées, le CV rapporte l'écart-type de l'estimation à la valeur de cette estimation.
Nous savons que la variance est une mesure du degré de dispersion d'un ensemble de données. On la calcule en prenant la moyenne de l'écart au carré de chaque nombre par rapport à la moyenne d'un ensemble de données. Pour les nombres 1, 2 et 3, par exemple, la moyenne est 2 et la variance, 0,667.
Pour calculer ce coefficient il faut tout d'abord calculer la covariance. La covariance est la moyenne du produit des écarts à la moyenne. Remarque : lorsque deux caractères sont standardisés, leur coefficient de corrélation est égal à leur covariance puisque leurs écarts-types sont égaux à 1.
La formule du coefficient de variation est la suivante : Coefficient de variation = (Écart-type / Moyenne) * 100. En symboles : CV = (SD/xbar) * 100. La multiplication du coefficient par 100 est une étape facultative pour obtenir un pourcentage, par opposition à une décimale.
Pour calculer la médiane : On classe les valeurs de la série statistique dans l'ordre croissant : Si le nombre de valeurs est impair, la médiane est la valeur du milieu. S'il est pair, la médiane est la demi-somme des deux valeurs du milieu.
L'Intervalle de Confiance à 95% est l'intervalle de valeur qui a 95% de chance de contenir la vraie valeur du paramètre estimé. Le seuil de 95% signifie qu'on admet un risque d'erreur de 5%: on peut réduire ce risque (par exemple à 1%), mais alors l'Intervalle de Confiance sera plus large, donc moins précis.
En pratique, les conditions de validité de la formule peuvent être vérifiées à posteriori. La précision de l'intervalle de confiance est donnée par son amplitude 2√n . Plus la taille de l'échantillon est grande, plus les intervalles de confiance obtenus sont précis.
La valeur -1,96 est le quantile d'ordre 2,5 % de la loi normale. Ces valeurs peuvent se trouver dans des tables de quantiles ou être calculées à partir de la fonction d'erreur réciproque : q = √2 erf-1(P) par exemple, q = √2 erf-1(0,95) = 1,9599...
Distance entre les bornes d'un intervalle donné.
Dans une population, on note p la proportion théorique d'individus ayant un caractère donné. On considère un échantillon de taille n dans cette population et on calcule la fréquence / du caractère dans cet échantillon. / = \f ~-=\f + -=\s environ 95 % des cas. /est appelé intervalle de confiance au seuil de 95 %.