La longueur du cercle trigonométrique est égale à 2π. En effet, son rayon est 1 donc P = 2πR = 2π x 1 = 2π Ainsi, à un tour complet sur le cercle, on peut faire correspondre le nombre réel 2π. On définit alors une nouvelle unité d'angle : le radian, tel qu'un tour complet mesure 360° ou 2π radians.
Un cercle trigonométrique est un cercle avec un rayon 1, dont le centre est l'origine d'un repère orthonormé. L'orientation de ce cercle dans le sens positif est le contraire de celui de l'aiguille d'une montre. Les sommets des angles sont le centre du cercle, avec un coté confondu avec la ligne de l'axe des abscisses.
Pour mieux retenir, imaginez que tout point d'un cercle a pour coordonnées (cos(θ), sin(θ)). Avec un triangle rectangle, vous pouvez retenir les trois principales fonctions trigonométriques en pensant au mot baroque : sohcahtoa (soh pour sin(θ) = côté opposé sur hypothénuse).
Quels moyens mnémotechniques utiliser en trigonométrie ? Pour retenir les trois principales fonctions trigonométriques, vous pouvez mémoriser « soh cah toa » pour sinus = opposé sur hypoténuse (soh), cosinus = adjacent sur hypoténuse (cah)et tangente = opposé sur adjacent (toa).
Si la rotation du côté initial est effectuée dans le sens antihoraire, la mesure de l'angle est positive. Si la rotation du côté initial est effectuée dans le sens horaire, la mesure de l'angle est négative.
En effet, on sait que la longueur d'un arc de cercle de rayon et d'angle au centre dont la mesure est exprimée en degré, 0 ⩽ a ⩽ 360 , est donnée par : ℓ = π R a 180 . Or, la mesure , exprimée en radian, de l'angle au centre qui intercepte cet arc est donnée par : θ = π a 180 .
La formule 2πr vient de la définition du cercle comme étant l'ensemble de tous les points situés à une distance égale du centre. Si l'on considère un cercle de rayon r, il est possible de diviser la circonférence en autant de sections qu'on le souhaite, chacune ayant une longueur égale à r.
Formules fondamentales :
tg x = sin x / cos x. cotg x = cos x / sin x. 1 + tg² x = 1 / cos² x.
La trigonométrie a pour objectif de simplifier la résolution de problèmes géométriques. En effet, l'utilisation de formules trigonométriques permet de : Calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle lorsqu'on connaît la longueur d'un côté et les mesures d'au moins 2 angles.
Sinus = Opposé/Hypoténuse ; Cosinus = Adjacent/Hypoténuse ; Tangente = Opposé/Adjacent.
Théorème – Définition : Tout nombre complexe non nul z s'écrit sous la forme suivante : z = r (cos (θ) + i sin (θ)) avec r = |z| et θ = arg (z) [2π] Cette forme est appelée forme trigonométrique du complexe z.
Par exemple, puisque le périmètre du cercle de rayon 1 vaut 2π, un angle de 360° (le tour complet) correspond à 2π radians. Le demi-tour, 180°, correspond à π. L'angle droit mesure, en radians, π/2, et la moitié de l'angle droit (45°) mesure π/4.
Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon dont le centre est l'origine. Sur le cercle trigonométrique, le sinus d'un angle correspond à son ordonnée, alors que le cosinus d'un angle correspond à son abscisse. Il y a certaines valeurs remarquables du sinus et du cosinus qu'il faut garder à l'esprit.
L'astronome grec Hipparque est considéré par beaucoup comme le père de la trigonométrie. Au cours de sa vie, aux alentours de l'an 120 av. J. -C., il crée une table de cordes tirées du centre d'un cercle qui forment des angles dont il tire des formules trigonométriques.
2kπ correspond à 360°, c'est-à-dire un tour complet.
Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle, noté « cos », est égal au rapport (quotient) de la longueur du côté adjacent à cet angle sur la longueur de l'hypoténuse.
On définit le cosinus comme étant le rapport entre le côté adjacent à l'angle par rapport à l'hypoténuse. Le sinus est le rapport entre le côté opposé à l'angle par rapport à l'hypoténuse.
Le sinus de l'un est égal au cosinus de l'autre et réciproquement. On va démontrer que le sinus d'un angle est égal au cosinus de son complémentaire.
La formule du cosinus d'un angle s'applique dans un triangle rectangle. Elle correspond au rapport entre la longueur du côté adjacent à l'angle (longueur collée à l'angle) et la longueur de l'hypoténuse (le plus grand côté du triangle rectangle).
Le côté opposé à un angle est celui qui est en face de cet angle. Celui des deux côtés d'un angle aigu qui est le côté adjacent est celui qui n'est pas l'hypoténuse.
Il s'agit du rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre ou entre la superficie d'un cercle et le carré de son rayon. 3,14 est une approximation, dans la réalité c'est 3,14159265358… Une suite infinie de décimales qui a valu au nombre Pi une salle entière au Palais de la découverte.
Le nombre Pi est utilisé depuis l'Antiquité par les mathématiciens, d'abord pour résoudre des problèmes géométriques, puis dans le calcul intégral et enfin à l'ère informatique pour calculer toujours davantage de décimales de Pi.
Pi est un nombre irrationnel (c'est à dire qu'il s'écrit avec un nombre infini de décimales sans suite logique). Les premières sont : 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582. Dans la pratique, on utilise 3,14 mais il est souvent aisé de retenir 22 septièmes ou racine de 10 pour valeur approchée de Pi.
Une équation du cercle de centre Ω(a;b) et de rayon r est (x−a)2+(y−b)2=r2.
Définition : Arc d'un cercle
Un arc d'un cercle est une section de la circonférence du cercle entre deux rayons. Étant donnés deux rayons, on désigne le plus grand des arcs comme l'arc majeur et le plus petit des arcs comme l'arc mineur. Le plus grand arc est celui avec le plus grand angle au centre.