Il suffit de considérer la suite géométrique de raison z ∈ C avec |z| > 1 pour s'en convaincre. Définition 3 Soit (zn)n ∈ CN. On dit que (zn)n converge vers l ∈ C si ∀ϵ > 0, ∃nϵ ∈ N, ∀n ≥ nϵ, |zn − l| < ϵ. un = l et l est appelée la limite de la suite (zn)n.
En fait, c'est relativement simple : si un converge vers l, alors lim(un) = l ; or se plaçant pour n tendant vers l'infini, on peut affirmer que n+1 tend vers l'infini, soit lim (un) = lim((un+1). On en déduit l = f(l).
Si une suite admet pour limite le nombre réel I on dit qu'elle est convergente vers I (ou qu'elle converge vers I ou qu'elle tend vers I). On note : ou lim u = I. La limite d'une suite est unique. Les suites , où k est un entier positif non nul, convergent vers 0.
Calculer la limite d'une suite géométrique est simple si on connaît un certain nombre d'éléments qui influent sur la valeur finale. La valeur de la raison a un rôle plus que significatif, complété par le signe du premier terme éventuellement.
On dit qu'une suite (un)n∈N d'éléments de K converge vers l ∈ K si : pour tout ε > 0, il existe N ∈ N tel que, pour tout n ≥ N, on ait |un − l| ≤ ε ou, avec des quantificateurs, ∀ε > 0,∃N ∈ N,∀n ≥ N,|un − l| ≤ ε On dit qu'une suite diverge si elle ne converge pas.
1/ Limite finie d'une suite : définition
Définition : La suite (un) admet le réel pour limite si : Tout intervalle ]a ; b[ contenant , contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On dit alors que la suite est convergente.
Avec des quantificateurs, la propriété lim un = l se traduit par ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ≥ n0, l − ε ≤ un ≤ l + ε. On peut aussi remplacer l − ε ≤ un ≤ l + ε par |un − l| ≤ ε.
Exemple : Calculer la limite de f(x)=2x f ( x ) = 2 x lorsque x tend vers 1 s'écrit limx→1f(x) lim x → 1 f ( x ) et revient à calculer 2×1=2 2 × 1 = 2 donc limx→1f(x)=2 lim x → 1 f ( x ) = 2 .
Déjà une limite peut se calculer pour tous les x, c'est-à-dire que le x peut tendre vers -∞, -9, 4, ½, π, 0, +∞, etc… En gros, pour calculer une limite, on remplace le x dans la fonction par vers quoi il tend.
n∈N est infinie, ce n'est pas dire que n! vaut l'infini à partir d'un certain rang ou quelque chose de métaphysique. Dire qu'une suite (un) tend vers l'infini, cela veut dire que si on choisit un réel A (on peut ajouter « aussi grand que l'on veut »), alors un est plus grand que A à partir d'un certain rang.
On dit quelques fois que "la suite converge vers +∞ (ou -∞)" mais une suite qui tend vers +∞ ou vers -∞ n'est pas convergente. Une suite divergente peut-être une suite qui tend vers une limite mais elle peut aussi être une suite qui n'a pas de limite.
Il est important de se rappeler que cette limite n'existe toujours pas puisque l'infini n'est pas un nombre. Par conséquent, nous pouvons conclure que la limite lorsque ? tend vers deux de un sur valeur absolue de ? moins deux n'existe pas.
Définition (limite finie à l'infini)
Soit une fonction f définie sur Df telle qu'il existe un réel a pour lequel [a;+∞[ est inclus dans Df. Soit ℓ∈R. Dire que f a pour limite ℓ, quand x tend vers +∞ signifie que, quel que soit ϵ>0, il existe m⩾a tel que, pour tout x∈Df, si x>m, alors ∣f(x)−ℓ∣<ε.
Une suite ne peut pas avoir deux limites distinctes. On procède par disjonction de cas. Si une suite tend vers +∞, elle est non majorée donc ne peut converger ni tendre vers −∞. Si une suite tend vers −∞, elle est non minorée donc ne peut converger non plus.
Voici une méthode générale pour étudier une suite récurrente définie par un+1=f(un) u n + 1 = f ( u n ) , où f:D→R f : D → R est continue et u0∈I u 0 ∈ I . Etape 1 : Etudier la fonction f sur son ensemble de définition (monotonie, croissance,…) Etape 2 : Résoudre l'équation aux limites possibles f(l)=l f ( l ) = l .
Si la suite est croissante et majorée, elle converge. Si la suite est décroissante et minorée, elle converge.
Les limites à l'infini d'une fonction polynôme sont les mêmes que celles de son terme de plus haut degré. Donc quand x tend vers −∞ ou quand x tend vers +∞ , les limites de − 3 x 2 + 7 x -3x^2+7x −3x2+7xminus, 3, x, squared, plus, 7, x sont les mêmes que celles de − 3 x 2 -3x^2 −3x2minus, 3, x, squared.
Autrement dit, calculer la limite d'une fonction quand x tend vers a, ça veut dire regarder vers quelles valeurs tend la fonction quand les valeurs de x se rapprochent de a. Note bien qu'on peut se rapprocher d'un réel a par la gauche ou par la droite.
On rappelle que la limite à droite ou à gauche d'une fonction est égale à la limite bilatérale d'une fonction si cette dernière existe. Si on peut montrer que la limite de ? ( ? ) existe en ? = − ? 6 et calculer sa valeur, elle correspondra également à la valeur de la limite à droite que nous recherchons.
limite d'une fonction en a
asymptote verticale à la courbe de f. pour x assez proche de a par valeur supérieure. On écrit alors: limx→ax>af(x)=+∞ ou limx→a+f(x)=+∞. asymptote verticale à la courbe de f.
Soit f:I→R f : I → R une fonction et a∈I a ∈ I . On dit que f est continue en a si f admet pour limite f(a) en a : ∀ε>0, ∃η>0, ∀x∈I, |x−a|<η⟹|f(x)−f(a)|<ε.
a) La fonction f admet une limite en x0 (c'est-`a-dire, f est continue en x0) si et seulement si elle admet f(x0) comme limite `a droite et `a gauche en x0. b) Si f admet des limites distinctes `a droite et `a gauche en x0, alors f n'admet pas de limite en x0.
Définitions. Dans un espace uniforme, une suite (xn) est dite de Cauchy lorsque pour tout écart continu d sur X, il existe un entier naturel N tel que pour tout p,q > N, on a : d(xp,xq) < 1.
Suite tendant vers + l'infini
Soit une suite réelle ; on dit que tend vers quand tend vers si quelque soit le réel il existe un entier tel que n ≥ N entraîne u n > A .
On dit qu'une suite un converge vers un réel L si pour tout intervalle ouvert U contenant L, tous les termes de la suite appartiennent à U sauf un nombre fini. L est la limite de la suite un et elle est unique. Une suite est divergente si elle n'est pas convergente.