La non-linéarité est la particularité, en mathématiques, de systèmes dont le comportement n'est pas linéaire, c'est-à-dire soit ne satisfaisant pas le principe de superposition, soit dont la sortie n'est pas proportionnelle à l'entrée.
Une équation est dite linéaire quand elle s'exprime à l'aide d'une application linéaire. Elle se présente sous la forme u(x)=b, où u est une application linéaire entre deux espaces vectoriels E et F, b est un élément donné de F. On recherche. l'inconnue x dans E.
Si la fonction f′ ne s'annule pas, on peut donc choisir u(x) = −1/f′(x). On obtient alors la méthode de Newton. Si f′f′′ est positive (respectivement négative) sur [a, b], on pose x0 = b (respectivement a). On définit alors la suite (xn) par la donnée de x0 et la relation de récurrence xn+1 = g(xn).
Les systèmes différentiels non linéaires dans le champ réel
On considère le système différentiel : où x ∈ R n, f (x, t ) une fonction à valeurs dans R n, t une variable réelle. On suppose f (x, t ) définie et continue dans l'ensemble −G × [t0, t0 + T], où G est un ensemble ouvert et borné dans R n.
La non-linéarité est une propriété utilisée pour décrire une relation qui n'est pas linéaire. Ce terme décrit une fonction qui ne peut être représentée par une ligne droite sur un graphique, mais qui a plutôt une forme courbe ou angulaire.
Une fonction n'est pas affine lorsque le taux d'accroissement n'est pas constant. Pour tout réel x,f(x)=1×x+1 donc f est affine avec m=1 et p=1.
La technique utilisée est celle de la linéarisation qui consiste à faire un développement limité en série de Taylor d'un système non linéaire et de considérer que les termes de plus haut degré du système de référence n'ont localement pas d'influence sur la stabilité du système considéré.
Une équation différentielle linéaire du premier ordre est une équation du type : y = a(x)y + b(x) (E) où a et b sont des fonctions définies sur un intervalle ouvert I de . Dans la suite on supposera que a et b sont des fonctions continues sur I. On peut envisager la forme : α(x)y +β(x)y = γ(x).
Résoudre le problème de Cauchy : y (t) = y(t)(y(t) − 1)(t + 1), y(0) = 2 4 Page 5 Solution. Le théorème de Cauchy-Lipschitz assure l'existence d'une unique solution au voisinage de la condition initiale (0,2). Pour calculer cette solution on procède par separation des variables.
L'analyse numérique a pour propos la recherche et l'optimisation de méthodes qui permettent d'approcher la solution d'un problème mathématique pour lequel la solution exacte est inaccessible.
Le principal avantage pratique de cette méthode est sa robustesse, puisque si f est continue, alors l'algorithme est théoriquement convergent (la taille de l'intervalle de recherche tend vers zéro).
La recherche dichotomique, ou recherche par dichotomie (en anglais : binary search), est un algorithme de recherche pour trouver la position d'un élément dans un tableau trié.
La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère. La représentation graphique d'une fonction affine est une droite passant par le point de coordonnées (0 ; b). Vocabulaire : a est appelé le coefficient directeur de la droite.
On appelle fonction linéaire toute fonction f dont l'expression peut s'écrire sous la forme f (x) = a x où a est une constante. * On considère deux grandeurs x et y telles que : y soit proportionnelle à x. En conséquence, il existe un nombre a tel que : y = a x.
Une équation est une égalité où les valeurs d'un ou de plusieurs nombres sont inconnues. Ces valeurs inconnues sont remplacées par des lettres. Par exemple, x + 2 = 6 x + 2 = 6 x+2=6x, plus, 2, equals, 6 est une équation. L'inconnue est x.
Solution maximale : une solution locale (J, x) est dite maximale si elle n'a pas d'autre prolongement qu'elle même ; Solution globale : une solution locale (J, x) est dite globale si elle est définie partout, i.e. si I = J.
On appelle solution particulière de l'équation différentielle a(x)y′(x) + b(x)y(x) = c(x) toute fonction y vérifiant cette équation.
Ces équations différentielles sont utiles, car elles interviennent dans la modélisation de phénomènes très vastes allant de la dynamique des populations à la prédiction de la fonte des banquises. Elles sont impliquées dans beaucoup de phénomènes qui nous entourent comme la météo ou l'effet papillon.
a - Principe de linéarisation :
Cette relation est vraie en chaque point de vol, et pour chacune des équations, on effectue un développement en série de Taylor que l'on arrête au premier ordre: Ce qui revient à écrire que la différentielle totale de f est nulle.
Principe de linéarisation : Lorsque les valeurs propres de la matrice jacobienne d'un système différentiel en un point stationnaire A ne sont ni nulles, ni imaginaires pures, les trajectoires de ce système au voisinage de A se comportent comme les trajectoires de son linéarisé au voisinage de l'origine.
On appelle portrait de phases d'un système différentiel l'ensemble de ses trajectoires. Dans la pratique, tracer le portrait de phases d'un système de dimension 2, c'est tracer, dans le plan , suffisamment de trajectoires pour que l'on puisse les imaginer toutes.
Une fonction linéaire est une fonction qui, à tout nombre x, associe le nombre ax , où a étant un nombre quelconque donné. a est appelé le coefficient de la fonction linéaire. On notera cette fonction de manière équivalente : ou f : x → ax ou f(x) = ax.
Soit la fonction f, définie par f(x) = 2x - 3. f(x) est bien de la forme ax + b, avec a = 2 et b = -3 : c'est donc bien une fonction affine. On va chercher à tracer la droite d'équation y = 2x - 3.
f(x)=ax+b où a≠0 et b≠0. Cette règle correspond à la règle générale pour les fonctions affines : f(x)=ax+b.