Un rapport trigonométrique est un rapport entre les mesures de 2 côtés d'un triangle rectangle. À partir de ces rapports, il est possible de trouver des mesures manquantes, que ce soit un côté ou un angle. Dans le triangle rectangle, les rapports trigonométriques expriment un rapport entre les longueurs de 2 côtés.
Les rapports trigonométriques sont le sinus, le cosinus, la tangente, la cosécante, la sécante et la cotangente. Les trois premiers sont traités dans les fiches suivantes alors que les trois autres seront traités dans les fiches portant sur le cercle trigonométrique.
Définition : Formules trigonométriques
Par exemple, si on connaît la mesure d'un angle 𝜃 et la longueur de son côté adjacent A, et que l'on souhaite calculer la longueur du côté opposé O, on utilise la formule trigonométrique t a n O A 𝜃 = pour obtenir O A t a n = 𝜃 .
Elle permet de retenir les trois formules : sinus = opposé / hypoténuse, cosinus = adjacent / hypoténuse et tangente = opposé / adjacent. Le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle n'ont pas d'unité.
Comme précisé en introduction, la trigonométrie permet de créer des relations entre les distances et les angles. Grâce aux définitions qui vont suivre, on va pouvoir tisser des rapport entre les angles et les longueurs des côtes qui forment cet angle dans le triangle rectangle.
Pour les non scientifiques, la trigonométrie est connue principalement pour ses applications aux problèmes de mesure, cependant elle est aussi souvent employée dans des matières insoupçonnées comme en théorie de la musique ou en théorie des nombres de manière encore plus technique.
Science qui a pour objet de résoudre les triangles, c'est-à-dire d'en déterminer par le calcul les angles et les côtés en partant de certaines données numériques.
Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle, noté « cos », est égal au rapport (quotient) de la longueur du côté adjacent à cet angle sur la longueur de l'hypoténuse.
Sin = Opposé / Hypoténuse (S.O.H.) Cos = Adjacent / Hypoténuse (C.A.H.) Tan = Opposé / Adjacent (T.O.A.)
Cosinus  = Côté adjacent (noté a) / Hypoténuse (noté h).
Pour trouver le coefficient, on divise, par exemple, la plus grande longueur du triangle réduit par la plus grande longueur du triangle initial. 1,8 ÷ 6 = 0,3. Le coefficient de réduction est 0,3.
Sous sa forme trigonométrique, il ressemble à ceci : z = |z|(cosθ+isinθ), θ + i sin qui s'écrit aussi z = r(cosθ+isinθ). θ + i sin Le module est |z| (ou r ) et l'argument est θ.
Nous voyons que le cosinus de 135 degrés est égal au cosinus de 225 degrés. Ceci est égal à moins cosinus 45 degrés.
Le sinus de l'un est égal au cosinus de l'autre et réciproquement. On va démontrer que le sinus d'un angle est égal au cosinus de son complémentaire.
Le sinus de l'angle est le rapport des longueurs du côté opposé à cet angle et de l'hypoténuse. Le cosinus de l'angle est le rapport des longueurs du côté adjacent à cet angle et de l'hypoténuse. La tangente de l'angle est le rapport des longueurs du côtés opposé et adjacent à cet angle et de l'hypoténuse.
La loi des sinus permet de trouver la mesure d'un côté ou d'un angle dans un triangle quelconque. Pour ce faire, il faut connaitre la mesure d'un angle, de son côté opposé et d'un autre côté ou d'un autre angle.
Dans cette acception, le sinus est un nombre compris entre 0 et 1. Si l'on introduit une notion d'orientation, les angles peuvent prendre n'importe quelle valeur positive ou négative, et le sinus est un nombre compris entre −1 et +1. Le sinus d'un angle α est noté sin(α) ou simplement sin α.
Pour retenir les trois principales fonctions trigonométriques, vous pouvez mémoriser « soh cah toa » pour sinus = opposé sur hypoténuse (soh), cosinus = adjacent sur hypoténuse (cah)et tangente = opposé sur adjacent (toa).
Dans le cas d'un triangle rectangle ABC rectangle en B, la tangente de l'angle A est égale à la longueur du côté opposé à l'angle A divisée par la longueur du côté adjacent à l'angle A, donc tan A = BC/BA.
Quant au cosinus, c'est tout simplement le sinus du complémentaire (de l'angle) : « co- » vient du latin cum, qui signifie « avec ». La tangente, elle, vient de ce qu'elle mesure une portion d'une tangente au cercle trigono- métrique.
Comme l'angle 45° se situe dans le deuxième quadrant, cos(45°) est négatif. On peut donc en déduire que cos(45°) = -√1/2 = -0,7071.
Mais on attribue à Hipparque de Nicée (-190 ; -120) les premières tables trigonométriques. Elles font correspondre l'angle au centre et la longueur de la corde interceptée dans le cercle.
Dans le cas d'un triangle rectangle ABC rectangle en B, le sinus de l'angle A est égal à la longueur du côté opposé à l'angle A divisée par la longueur de l'hypoténuse, donc sin A = BC/AC.
La tangente comme quotient
cos ( A ^ ) = A B A C sin ( A ^ ) = B C A C tan ( A ^ ) = B C A B .