En mathématiques et plus particulièrement en topologie générale, un ensemble ouvert, aussi appelé une partie ouverte ou, plus fréquemment, un ouvert, est un sous-ensemble d'un espace topologique qui ne contient aucun point de sa frontière.
Une partie X de E est ouverte si et seulement si pour tout élément x de X, il existe un réel δ > 0 tel que B(x, δ) ⊂ X. B) On montre que X est une réunion (quelconque) de parties ouvertes ou une intersection finie d'ouverts.
∅ et ℝ sont ouverts. Tout intervalle ouvert est un ensemble ouvert. Toute réunion d'ouverts est encore un ouvert. L' intersection de deux, ou d'un nombre fini d'ouverts est encore un ouvert.
Bien évidemment, dans Q, pour TOUTE topologie, Q est ouvert et fermé.
L'ensemble vide est voisinage de chacun de ses points, puisqu'il n'en a pas. De manière générale, une assertion commençant par quelque chose du genre "∀x∈∅" est vraie; en quelque sorte, il n'y a rien à vérifier.
Définition 1 Une partie U ⊂ R est dite ouverte si pour tout x ∈ U, il existe ϵ > 0 tel que ]x − ϵ, x + ϵ[⊂ U. Une partie F ⊂ R est dite fermée si son complémentaire U = R \ F est ouvert.
Pour tout r>0 la fonction f: x->r/2 est dans U, et d(f,0) = r/2 < r, ce qui est contradictoire. Remarque : Pour montrer que U n'est pas ouvert, on peut aussi montrer que le complémentaire de U n'est pas fermé, c'est à dire qu'il existe une suite d'éléments fn du complémentaire de U qui converge vers f appartenant à U.
Principe. a) Lorsque le crochet entour le nombre, on dit qu'il est fermé, dans le cas contraire on dit qu'il est ouvert. Par exemple, [2;3[ est fermé en 2 (mais ouvert en 3), cela veut dire qu'il contient 2 mais pas 3 ! ]
Les espaces ouverts sont définis comme la partie de l'espace non occupée par des constructions. Cette définition prend en considération tous les espaces creux tels que les places, les rues, les zones de recul devant les bâtiments exceptionnels, les espaces verts, les berges de fleuves etc.
Un ensemble F est fermé si et seulement si toute limite (dans E) d'une suite généralisée à valeurs dans F appartient à F. L'espace E est dit séquentiel si cette caractérisation de ses fermés reste vraie en remplaçant « suite généralisée » par « suite ». Tout espace métrique est séquentiel.
Dans ℝ, pour un intervalle, la définition métrique d'ensemble ouvert coïncide avec l'appellation d'intervalle ouvert : les convexes de ℝ définis par des inégalités strictes. De plus, les ouverts de ℝ sont les réunions au plus dénombrables d'intervalles ouverts non vides disjoints.
Remarque : La fonction f : ℝ* → ℝ définie par f(x) = x/|x| est dérivable sur ℝ*, et sa dérivée est identiquement nulle ; mais f n'est pas constante. Ceci tient au fait que ℝ* = ℝ\{0} n'est pas un intervalle.
Une partie A de R est fermée si son complémentaire R \ A est une partie ouverte de R. +,]a − r, a + r[⊂ R \ A. Exemple 1.2.13. — Un segment [a, b], avec a ≤ b ∈ R est fermé, car R \ [a, b] =] − ∞,a[∪]b,+∞[ est une réunion d'intervalles ouverts, donc est une partie ouverte de R.
Soit {x} un singleton. Si y ∈ C{x} alors y = x, donc r = d(x, y) > 0. La boule ouverte B(y, r) est un voisinage de y qui est inclus dans C{x}. Ceci implique que C{x} est un ouvert et donc {x} est un fermé.
L'intérieur d'un ensemble est la réunion de tous les ouverts inclus dans cet ensemble. L'intérieur de A sera noté oA. Tout point de oA sera dit intérieur à A. l'extérieur de A est par définition l'intérieur de E-A.
On appelle espace topologique un couple (X,T ) où X est un ensemble et T une famille de parties de X vérifiant : (T1) ∅∈T , X ∈ T , (T2) Une intersection finie d'éléments de T appartient à T , (T3) Une reunion quelconque d'éléments de T appartient à T . On appelle T la topologie sur X.
Exemples : Pour déterminer l'intersection de deux intervalles, on représente ces deux intervalles sur le même axe gradué et on repère les points du premier intervalle plus tous les points du second intervalle.
Le sens des crochets indique si la borne appartient ou non à l'intervalle : en −4 , le crochet est tourné vers l'intérieur (on dit qu'il est fermé), car −4 appartient à l'intervalle. en 3 , le crochet est tourné vers l'extérieur (on dit qu'il est ouvert), car 3 n'appartient pas à l'intervalle.
Définition 1 : Un intervalle de R est l'ensemble de tous les nombres réels compris entre deux réels a et b où a et inférieur à b. Remarque 1 : Selon que l'on prenne (ou non) le nombre a, on dira que l'intervalle est fermé (ouvert) du côté de a.
En ensemble vide ne contient aucun élément. On le représente par le symbole « Ø » ou par deux accolades vides « { } ».
L'ensemble image ? ( ? ) est l'ensemble des valeurs que nous pouvons obtenir en appliquant ? à des éléments de ? : ? ( ? ) ∶ = { ? ( ? ) ∶ ? ∈ ? } . On peut trouver l'ensemble de définition en déterminant quelles sont les valeurs de ? pour lesquelles ? est définie.
Par définition de ·∞, un ensemble X est borné s'il est inclus dans un pavé [−a,a]N, qui est compact. Si de plus X est fermé, c'est un fermé dans un compact, donc il est compact.